Question

【题目】如图，在ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么 的值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴S△ABE=S△ADF= S平行四边形ABCD ，
在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，
∴CH=a，DH= a，
在Rt△DFH中，DF= = =2 a，
在Rt△ECG中，∵CE=a，
∴CG= a，GE= a，
在Rt△BEG中，BE= = = a，
∴ APBE= DFAQ，
∴ = = ，
所以答案是 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．