题目内容
【题目】如图,已知抛物线过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),其顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值;
(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点,过点E作EF∥ND交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3);(4)E(﹣2,1)或(, )或(, ).
【解析】试题分析:(1)根据待定系数法,可得答案;
(2)利用轴对称求最短路径的知识,找到B点关于直线x=1的对称点B′,连接B'D,B'D与直线x=1的交点即是点M的位置,继而求出m的值.
(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是交大的纵坐标间距坐标减较小的纵坐标,可得PE的长,根据三角形的面积,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;
(4)设出点E的,分情况讨论,①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,根据平行四边形的性质,可得关于x的方程,继而求出点E的坐标.
试题解析:解:(1)将A,B,C点的坐标代入解析式,得: ,解得: ,抛物线的解析式为: .
(2)配方,得,顶点D的坐标为(﹣1,4).作B点关于直线x=1的对称点B′,如图1,则B′(4,3),由(1)得D(﹣1,4),可求出直线DB′的函数关系式为,当M(1,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,则m==.
(3)作PE⊥x轴交AC于E点,如图2,AC的解析式为y=x+3,设P(m, ),E(m,m+3),PE==,S△APC=PE|xA|=()×3=,当m=﹣时,△APC的面积的最大值是;
(4)由(1)、(2)得D(﹣1,4),N(﹣1,2),点E在直线AC上,设E(x,x+3):
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),∵EF=DN,∴﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=4﹣2=2,解得,x=﹣2或x=﹣1(舍去),则点E的坐标为:(﹣2,1).
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),∵EF=DN,∴(x+3)﹣(﹣x2﹣2x+3)=2,解得x=或x=,即点E的坐标为:(, )或(, ).
综上所述:满足条件的点E坐标为E(﹣2,1)或(, )或(, ).