题目内容
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，cos∠ABC=
，点E是AB边的中点，点F是射线BC上的一动点，连接BD、DF．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求tan∠ABD；
（2）如图2，当点F在BC的延长线上时，连接EF，交DC边于点G，设CF=m，试求线段DG（用含m的代数式表示）；
（3）设M是边DC上一点，且5DM=8AE，连接AM，与对角线BD相交于点N，若△BDF∽△ADN，请求线段CF．
| 3 | 5 |
（1）如图1，当DF⊥BC时，求tan∠ABD；
（2）如图2，当点F在BC的延长线上时，连接EF，交DC边于点G，设CF=m，试求线段DG（用含m的代数式表示）；
（3）设M是边DC上一点，且5DM=8AE，连接AM，与对角线BD相交于点N，若△BDF∽△ADN，请求线段CF．
分析：（1）先根据等底对等角，平行线的性质及三角函数的知识即可求出tan∠ABD；
（2）过点E做EN⊥BC，过点G做GM⊥BC，过点A做AP⊥BC，过点D做DQ⊥BC，根据平行线的判定和相似三角形的性质即可求出线段DG；
（3）过点A做AH⊥BC于点H，以HC为x轴，HA为y轴建立直角坐标系，过点M做MP⊥BC于点P，过点D做DQ⊥BC于点Q，根据相似三角形的性质结合三角形的面积公式即可求解．
（2）过点E做EN⊥BC，过点G做GM⊥BC，过点A做AP⊥BC，过点D做DQ⊥BC，根据平行线的判定和相似三角形的性质即可求出线段DG；
（3）过点A做AH⊥BC于点H，以HC为x轴，HA为y轴建立直角坐标系，过点M做MP⊥BC于点P，过点D做DQ⊥BC于点Q，根据相似三角形的性质结合三角形的面积公式即可求解．
解答：解：（1）∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
tan∠ABD=tan（
∠ABC）=
=
；
（2）过点E做EN⊥BC，过点G做GM⊥BC，过点A做AP⊥BC，过点D做DQ⊥BC
所以EN∥GM∥AP∥QD
所以GM：EN=FM：FN，
其中EN=
AP=
DQ，
则2GM：DQ=FM：FN
GM：DQ=CG：CD=CM：CQ
则2CM：CQ=FM：FN=（FC+CM）：（BF-BN）=（m+CM）：（11+m-
）=2CM：CQ=2CM：3
解得CM=
，
CG：CD=CM：CQ
则（CD-DG）：CD=CM：CQ
即（5-DG）：5=
：3，
解得DG=
；
（3）过点A做AH⊥BC于点H，以HC为x轴，HA为y轴建立直角坐标系过点M做MP⊥BC于点P，过点D做DQ⊥BC于点Q
则CP：CQ=MP：DQ=CM：CD
5DM=8AE=8×5÷2=20，DM=4，
则CP：CQ=MP：DQ=（5-4）：5
则CP=
，MP=
，
则点A为（0，4），点M为（
，
），点B为（-3，0），点D为（5，4）
直线AM为y=-
x+4，直线BD为y=
x+
，
两直线相交于点N，点N为（
，
）
△AND中，底边AD=5，h=4-
=
，
S=0.5×5×
=
=S△BDF=0.5×4BF
BF=
，
CF=BC-BF=3+5+3-
=
．
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
tan∠ABD=tan（
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| 2 |
|
| 1 |
| 2 |
（2）过点E做EN⊥BC，过点G做GM⊥BC，过点A做AP⊥BC，过点D做DQ⊥BC所以EN∥GM∥AP∥QD
所以GM：EN=FM：FN，
其中EN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
则2GM：DQ=FM：FN
GM：DQ=CG：CD=CM：CQ
则2CM：CQ=FM：FN=（FC+CM）：（BF-BN）=（m+CM）：（11+m-
| 3 |
| 2 |
解得CM=
| 3m |
| 16+2m |
CG：CD=CM：CQ
则（CD-DG）：CD=CM：CQ
即（5-DG）：5=
| 3m |
| 16+2m |
解得DG=
| 5(16+m) |
| 16+2m |
（3）过点A做AH⊥BC于点H，以HC为x轴，HA为y轴建立直角坐标系过点M做MP⊥BC于点P，过点D做DQ⊥BC于点Q
则CP：CQ=MP：DQ=CM：CD
5DM=8AE=8×5÷2=20，DM=4，
则CP：CQ=MP：DQ=（5-4）：5
则CP=
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| 5 |
| 4 |
| 5 |
则点A为（0，4），点M为（
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| 5 |
| 4 |
| 5 |
直线AM为y=-
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| 37 |
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| 2 |
| 3 |
| 2 |
两直线相交于点N，点N为（
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| 69 |
| 196 |
| 69 |
△AND中，底边AD=5，h=4-
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| 69 |
| 80 |
| 69 |
S=0.5×5×
| 80 |
| 69 |
| 200 |
| 69 |
BF=
| 100 |
| 69 |
CF=BC-BF=3+5+3-
| 100 |
| 69 |
| 659 |
| 69 |
点评：考查了相似形综合题，本题涉及的知识点有等腰三角形的性质，平行线的性质，三角函数，相似三角形的性质和三角形的面积，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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