Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，点F在DC上，且AD=a，BC=b．
（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图．求证：EF∥BC，且EF=

a+b

2

；
（2）如果

AE

EB

=

DF

EC

=

m

n

，如图，判断EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代数式表示EF．请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）连接AF并延长，交BC的延长线于M，利用ASA可证△ADF≌△MCF，那么，AF=MF，AD=CM，于是EF就转化为△ABM的中位线，那么EF=

1

2

BM，而CM=AD，所以EF=

1

2

BM=

1

2

（BC+CM）=

1

2

（BC+AD）；
（2）证法和（1）相同，只是换成求线段的长．先利用平行线分线段成比例定理的推论，可得AF：FM=AD：CM=DF：FC=m：n，从而在△ABM中，AE：BE=AF：FM，再利用比例线段的性质，就有AE：AB=AF：AM，再加上一个公共角，可证△AEF∽△ABM，则∠AEF=∠ABM，那么EF∥BM，从而有EF：BM=AE：AB=m：（m+n），而AD：CM=m：n，可求CM，那么BM可求，把BM代入上式即可求EF．

解答：（1）证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点M，（1分）
∵AD∥BM，
∴∠D=∠1，
∵点F为DC的中点，
∴DF=FC，
又∵∠2=∠3，
∴△ADF≌△MCF，
∴AF=FM，AD=CM，（3分）
∵点E为AB的中点，
∴EF是△ABM的中位线，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BM，
∵BM=BC+CM=BC+AD，
∴EF=

1

2

（AD+BC），即EF=

1

2

（a+b）；（5分）

（2）答：EF∥BC，EF=

bm+an

m+n

，
证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点M，
∵AD∥BM，
∴

AF

FM

=

AD

CM

=

DF

FC

又∵

AE

EB

=

DF

FC

=

m

n

，在△ABM中，有

AF

FM

=

AE

EB

∴EF∥BC，（9分）
∴

AE

AB

=

EF

BM

=

m

m+n

，
∴EF=

m

m+n

BM=

m

m+n

(BC+CM)，（10分）
而

AD

CM

=

DF

FC

=

m

n

，
∴CM=

nAD

m

=

na

m

，（11分）
∴EF=

m

m+n

（b+

an

m

），
∴EF=

bm+an

m+n

．

点评：本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、比例线段的性质等知识．