Question

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）120°
（2）A(1-，0 )   B（1+，0）
（3）  
（4）点D在抛物线上   所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分

试题分析：（1）
解：过点作CM⊥AB，得CM=1，
∵AC=2，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=120°    （2分）
（2）∵CM=1，AC=2，∴AM=
∴A(1-，0 )   B（1+，0）        （2分）
（3）
解：由题可得该抛物线的对称轴为 直线x=1，PM=3
∴顶点坐标为（1,3）                (1分)
设
经过点A(1-，0 ) ，得 0=3a+3
∴a=-1   ∴       （2分）
（4）解：存在   （1分）
假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形
∴PC//OD且PC=OD．
∵PC//y轴，∴点D在y轴上．
又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．    （2分）
又D（0，2）满足
∴点D在抛物线上   所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分． （2分）
点评：此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时一定要对待定系数法解二次函数的基本知识熟练把握