题目内容

如图,直线轴、轴分别交于A、B两点,动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动. 动直线EF从轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF∥轴),并且分别与轴、线段AB交于E、F点.连结FP,设动点P与动直线EF同时出发,运动时间为t秒.

(1)当t=1秒时,求梯形OPFE的面积;
(2)t为何值时,梯形OPFE的面积最大,最大面积是多少?
(3)设t的值分别取t1、t2时(t1≠t2),所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2.试判断这两个三角形是否相似,请证明你的判断.
(1)18;(2)50;(3)相似

试题分析:(1)先根据直线的性质求出A、B两点的坐标,再根据点A的移动规律,得到AP的长,从而求出OP的长;又因为EF=BE,用OB的长减去OE的长即可求出EF的长;从而利用梯形面积公式求出梯形OPFE面积;
(2)设OE=t,AP=3t,利用梯形面积公式,将梯形面积转化为关于t的二次函数表达式,求二次函数的最大值即可;
(3)作FD⊥x轴于D,则四边形OEFD为矩形.求出三角形各边的长度表达式,计算出对应边的比值,加上一个夹角相等,即可得到结果.
设梯形OPFE的面积为S.
(1) A(20,0),B(0,20)
∴OA=OB=20,∠A=∠B=45°
当t=1时,OE=1,AP=3
∴OP=17,EF=BE=19
∴S=(OP+EF)·OE=18;
(2) OE=t,AP=3t
∴OP=20-3t,EF=BE=20-t
∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t=-2t2+20t=-2(t-5)2+50
∴当t="5" (在0<t<范围内)时,S最大值=50;
(3) 作FD⊥x轴于D,则四边形OEFD为矩形

∴FD=OE=t,AF=FD=t,又AP=3t
当t=t1时,AF1=t1,AP1=3t1
当t=t2时,AF2=t2,AP2=3t2
,又∠A=∠A
∴△AF1P1∽△AF2P2.
点评:解答本题的关键是熟记求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法.
练习册系列答案
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银川市某企业为某计算机产业基地提供电脑配件.受美元走低的影响,从去年1至9月(前年12月份原材料价格540元/件),该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9,且x取整数)之间的函数关系如下表:
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1(元/件)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12,且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势:

(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出y1与x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式;
(2)若去年该配件每件的售价为1000元,生产每件配件的人力成本为50元,其它成本30元,该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1(1≤x≤9,且x取整数),10至12月的销售量p2(万件)p2=-0.1x+2.9(10≤x≤12,且x取整数).分别求出去年4月份和10月份每个月销售该配件的利润,并比较那个月的利润大;
(3)今年1至5月,每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元,人力成本比去年增加20%,其它成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%,与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1 a%.这样,在保证每月上万件配件销量的前提下,完成1至5月的总利润1700万元的任务,请你参考以下数据,估算出a的整数值.(参考数据:992=9801,982=9604,972=9409,962=9216,952=9025)

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