题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,点Py轴正半轴上的一点,⊙O与y轴正半轴交于点CPB交⊙O于点D,点D是劣弧的中点,AB=

(1)求 P点的坐标及的值;

(2)求证:DP2=OP·CP.

【答案】(1)点P的坐标为(0, ),1;(2)证明见解析.

【解析】分析:(1) 作DF⊥OB, DE⊥OC,由题中条件得出△PED∽△POB,而后求出点P的坐标,再利用解直角三角形得出结果.(2)用(1)的方法可得△PCD∽△PDO 从而求解.

本题解析:(1)如图, 作DFOB, DEOC,垂足分别为F、E

∵点D是劣弧的中点,∴∠EOD=45°

在Rt△DEO中DO=,∴DE=EO=1

∵ED∥OB,∴△PED∽△POB

∴点P的坐标为(0, ),

∵∠DOF=∠EOD=45°,OD=OB

∴∠OBD=∠ODB=

∴∠OPB=90O-67.5O=22.5O

= ,

(2) 同上:∠OCD=∠ODC=

∴∠PCD=180O-67.5O=122.5O

PDO=180O-∠ODB= 180O-67.5O=122.5O

∴△PCD∽△PDO

DP2=OP·CP;

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