Question

【题目】（1）如图1，是上一动点，是外一点，在图中作出最小时的点．

（2）如图2，中，，，，以点为圆心的的半径是，是上一动点，在线段上确定点的位置，使的长最小，并求出其最小值．

（3）如图3，矩形中，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，，，试探究四边形的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）过做于，，交于，这时最短，最短为；（3）有最大值和最小值，四边形面积最大值是，最小值是．

【解析】

（1）根据两点之间线段最短，连接OP与圆交于一点，这点便是要求的A点；

（2）如图，过做于，，交于，这时最短，分别在线段，上任取点，点，连接，，根据垂线段最短，可得最短．然后利用勾股定理和面积相等求得PQ和BP的值；

（3）如图取AB的中点G，连接FG，FC，GC,由△FAG∽△EAD，推出FG: DE=AF: AE=1: 3,因为DE=3，可得FG=1,推出点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，当GH⊥AC于H交⊙G于F ,GH的反向延长线于⊙G交于F,再利用(2)的结论可知，HF或HF为△AFC的AC边上的高，HF最小，HF最大，由此可得△ACF面积最小，推出四边形的面积最小，通过求解得出最小面积；同理可得△ACF面积最大，推出四边形的最大面积，即可解决问题.

（1）连接线段交于，点即为所求；

证明:如图1延长PO交⊙O于点B,显然PB> PA.

如图2,在⊙O上任取一点C(与点A，B不重合) ,连结PC，OC.
∵PO<PC+OC,
且PO= PA+OA，0A=0C, ∴ PA<PC
∴ PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离.
由此可得：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.

（2）过做于，，交于，这时最短．

理由：如图3，分别在线段，上任取点，点，连接，，由于，根据垂线段最短，，，又，所以，即最短．

在中，

，，

，这时．

当在点左侧米处时，长最短是．

（3）的面积有最大和最小值．

如图4，取的中点，连接，．，，

，，，又，，，

，

，，

，，，

点在以为圆心为半径的圆上运动，

连接，则的面积

过做于，交于，反向延长线交于，

①当在时，面积最小．理由：由（2）知，当在时，最短，这时的边上的高最小，所以面积有最小值，

在中，，

在中，，

面积有最小值是；

四边形面积最小值是；

②当在时，最大理由：在上任取异于点的点，作于，作于，连接，则四边形是矩形，，

在中，，，又，，即所以是的边上的最大高，所以面积有最大值，

面积有最大值是；

四边形面积最大值是

综上所述，四边形面积最大值是，最小值是．