题目内容
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠ADC=90°,AB=AC,CE平分∠ACB交AB于点E,F为BC上一点,BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H.下列结论:
①AF⊥CE;②△ABF∽△DGA;③AF=
DH;④S四边形ADCG=
DG2.
其中正确的结论有 .
①AF⊥CE;②△ABF∽△DGA;③AF=
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其中正确的结论有
考点:相似三角形的判定与性质,直角梯形
专题:压轴题
分析:先判断出△ABC是等腰直角三角形,过点E作EF′⊥BC于F′,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=EF′,再根据等腰直角三角形的性质可得BF′=EF′,从而确定点F、F′重合,再利用“HL”证明△ACE和△FCE全等,根据全等三角形对应边相等可得AC=CF,根据等腰三角形三线合一的可得AF⊥CE,判断出①正确;求出∠AFC=∠FAC=67.5°,再求出∠DAG=∠AFB=112.5°,∠BAF=∠ACE=22.5°,再根据点A、G、C、D四点共圆得到∠ADG=∠ACE,然后利用两组角对应相等,两三角形相似判断出②正确;求出△ACF和△HCD相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AF=
DH,判断出③正确;根据S四边形ADCG=S△ACG+S△ADC,利用三角形的面积列出整理成AF•DG的形式,再把AF用DG表示,然后代入进行计算即可判断④正确.
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解答:解:∵∠BAC=∠ADC=90°,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
过点E作EF′⊥BC于F′,
则△BEF′是等腰直角三角形,
∴BF′=EF′,
∵CE平分∠ACB,
∴AE=EF′,
∴AE=BF′,
∵BF=AE,
∴BF=BF′,
∴点F、F′重合,
在△ACE和△FCE中,
,
∴△ACE≌△FCE(HL),
∴AC=CF,
∵CE平分∠ACB,
∴AF⊥CE,故①正确;
∵∠AFC=∠FAC=90°-
×45°=67.5°,
∴∠DAG=∠AFB=112.5°,
∠BAF=∠ACE=
×45°=22.5°,
∵∠AGC=90°,∠ADC=90°,
∴点A、G、C、D四点共圆,AC是直径,
∴∠ADG=∠ACE=22.5°,
∴∠ADG=∠BAF,
∴△ABF∽△DGA,故②正确;
∵∠CDH=90°-∠ADG=90°-22.5°=67.5°,
∴∠CDH=∠FAC=67.5°,
又∵∠ACF=∠ACD=45°,
∴△ACF∽△HCD,
∴
=
,
∵△ACD中,∠ACD=90°-45°=45°,∠ADC=90°,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴AC=
CD,
∴AF=
DH,故③正确;
∵∠GDC=∠GCD=90°-22.5°=67.5°,
∴DG=CG,
∵△ABF∽△DGA,
∴
=
,
∴AF•DG=AD•AB=AD•
AD=
AD2,
∴AD2=
AF•DG,
S四边形ADCG=S△ACG+S△ADC,
=
AG•CG+
AD•CD,
=
×
AF•DG+
×
AF•DG,
=
AF•DG,
∵DG=DH+GH=DH+AG=
AF+
AF=
AF,
∴AF=
DG,
∴S四边形ADCG=
×
DG•DG=
DG2,故④正确.
综上所述,正确的结论有①②③④.
故答案为:①②③④.
∴△ABC是等腰直角三角形,
过点E作EF′⊥BC于F′,
则△BEF′是等腰直角三角形,
∴BF′=EF′,
∵CE平分∠ACB,
∴AE=EF′,
∴AE=BF′,
∵BF=AE,
∴BF=BF′,
∴点F、F′重合,
在△ACE和△FCE中,
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∴△ACE≌△FCE(HL),
∴AC=CF,
∵CE平分∠ACB,
∴AF⊥CE,故①正确;
∵∠AFC=∠FAC=90°-
1 |
2 |
∴∠DAG=∠AFB=112.5°,
∠BAF=∠ACE=
1 |
2 |
∵∠AGC=90°,∠ADC=90°,
∴点A、G、C、D四点共圆,AC是直径,
∴∠ADG=∠ACE=22.5°,
∴∠ADG=∠BAF,
∴△ABF∽△DGA,故②正确;
∵∠CDH=90°-∠ADG=90°-22.5°=67.5°,
∴∠CDH=∠FAC=67.5°,
又∵∠ACF=∠ACD=45°,
∴△ACF∽△HCD,
∴
AF |
DH |
AC |
CD |
∵△ACD中,∠ACD=90°-45°=45°,∠ADC=90°,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴AC=
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∴AF=
2 |
∵∠GDC=∠GCD=90°-22.5°=67.5°,
∴DG=CG,
∵△ABF∽△DGA,
∴
AD |
AF |
DG |
AB |
∴AF•DG=AD•AB=AD•
2 |
2 |
∴AD2=
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S四边形ADCG=S△ACG+S△ADC,
=
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=
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=
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∵DG=DH+GH=DH+AG=
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∴AF=
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∴S四边形ADCG=
| ||
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2 | ||
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综上所述,正确的结论有①②③④.
故答案为:①②③④.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,直角梯形,根据角的度数22.5°和67.5°求出相等的角是解题的关键,也是本题的难点.
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中,AD为BC边上的中线,若AB=6,AC=4,设AD=x,则x的取值范围是( )
A、0<x<10 |
B、2<x<8 |
C、1<x<5 |
D、2<x<10 |
已知关于x的方程(m+1)x2-2(m-1)x+m=0有实数根,则m的取值范围是( )
A、m≤
| ||
B、m≥
| ||
C、m<
| ||
D、m≤
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