Question

在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数满足：当x＜0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线
y=-x+k，都经过点P，且|OP|=，则符合要求的实数k有    个．

Answer 1

【答案】分析：由反比例函数y=当x＜0时，y随x的增大而减小，可判断k＞0，设P（x，y），则P点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy=2k，y+x=k，又∵OP²=x²+y²，将已知条件代入，列方程求解．
解答：解：∵反比例函数y=当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴k＞0，
设P（x，y），则xy=2k，y+x=k，
∵x、y为实数，x、y可看作一元二次方程m²-km+2k=0的两根，
∴△=3k²-8k≥0，解得k≥或k≤0（舍去），
又∵OP²=x²+y²，
∴x²+y²=7，即（x+y）²-2xy=7，
（k）²-4k=7，
解得k=-1或，而k≥，
故不存在满足条件的k．
故答案为：0．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据交点坐标满足反比例函数、一次函数解析式，列方程组求解．