题目内容
【题目】如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=
x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，直接写出AM的长．
【答案】（1）抛物线的解析式：y=
x2-2x-6，顶点D（2，-8）；（2）3＜m＜8．（3）AM的长为4或2．
【解析】
试题（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．
试题解析：（1）将A（0，-6）、B（-2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：
，
解得
．
∴抛物线的解析式：y=x2-2x-6=（x-2）2-8，顶点D（2，-8）；
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x-2+1）2-8+m，
即：y=（x-2+1）2-8+m．它的顶点坐标P（1，m-8）．
由（1）的抛物线解析式可得：C（6，0）．
∴直线AB：y=-3x-6；直线AC：y=x-6．
当点P在直线AB上时，-3-6=m-8，解得：m=-1；
当点P在直线AC上时，1-6=m-8，解得：m=3；
又∵m＞0，
∴当点P在△ABC内时，3＜m＜8．
（3）由A（0，-6）、C（6，0）得：OA=OC=6，且△OAC是等腰直角三角形．
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°．
∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，
即∠NBA=∠OMB．
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=ANAM1；
由勾股定理，得AB2=（-2）2+（-6）2=40，
又∵AN=OA-ON=6-2=4，
∴AM1=40÷4=10，OM1=AM1-OA=10-6=4
OM2=OM1=4
AM2=OA-OM2=6-4=2．
综上所述，AM的长为4或2．
