题目内容

如图,抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若点P是抛物线第一象限上的一个动点,过点P作PQ∥AC交x轴于点Q.当点P的坐标为           时,四边形PQAC是平行四边形;当点P的坐标为                 时,四边形PQAC是等腰梯形. (利用备用图画图,直接写出结果,不写求解过程).
(3)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标

(1),(1,4);(2)(2,3);();(3)四边形PMAC的面积取得最大值为,此时点P的坐标为().

解析试题分析:(1)将抛物线的解析式设为交点式,可用待定系数法较简捷地求得抛物线的解析式,将其化为顶点式即可求得顶点D的坐标.
(2)①如图1,四边形PQAC是平行四边形时,
∵CP∥x轴,点P在抛物线上,∴点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称.
∵C(0,3),∴P(2,3).
②如图2,四边形PQAC是等腰梯形时,设P(m,),
过点P作PH⊥x轴于点H,则H(m,0).
易得△ACO∽△QNP,∴.
∵OA=1,OC=3,HP=,∴,即.
∴AQ=AO+OH-QH=。∴.
又由勾股定理得,.
由四边形PQAC是等腰梯形得AQ=CP,即AQ2=CP2
,整理得,解得.
时,由①知CP∥AQ,四边形PQAC是平行四边形,不符合条件,舍去.
时,CP与AQ不平行,符合条件。∴P().

(3)求出直线BD的解析式,设定点P的坐标,由列式,根据二次函数最值原理,即可求得四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),
∴可设抛物线的解析式为.
又∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与y轴交于点C(0,3),
,解得.
∴抛物线的解析式为,即.
又∵,∴抛物线顶点D的坐标为(1,4).
(2)(2,3);().
(3)设直线BD的解析式为
由B(3,0),D(1,4)得,解得.
∴直线BD的解析式为.
∵点P在直线PD上,∴设P(p,).
则OA=1,OC=3,OM= p,PM=.
 .
,∴当时,四边形PMAC的面积取得最大值为,此时点P的坐标为().
考点:1.二次函数综合题;2.待定系数法;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.二次函数的性质;5.平行四边形的判定;6.等腰梯形的判定;7.相似三角形的判定和性质勾股定理;8.解一元二次方程.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网