Question

如图，抛物线与x轴交于点A（—2，0），交y轴于点B（0，）.直过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D.

（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m与x的函数关系式，并求出m的最大值．

Answer 1

（1）,;（2）存在,（2，－3）和（4，）;（3）,当x=3时，m的最大值是15.

解析试题分析：（1）将A，B两点坐标分别代入求出二次函数解析式；将A点坐标代入求出直线解析式;
（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的判定得出PM=CE，得出等式方程求出即可;
（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出m与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可.
试题解析：（1）∵经过点A（—2，0）和B（0，）
∴，解得.
∴抛物线的解析式是.
∵直线经过点A（—2，0），∴，解得：.
∴直线的解析式是.
（2）存在.
设P的坐标是（x，），则M的坐标是（x，），
∴.
解方程得：或.
∵点D在第三象限，∴点D的坐标是（8，）.
由令x=0得点C的坐标是（0，）.
∴.
∵PM∥y轴，∴要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即.
解这个方程得：x₁=2，x₂=4.
当x=2时，y="—3;" 当x=4时，y=.
∴直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（2，－3）和（4，）.
（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=10.
∴△CDE的周长是24.
∵PM∥y轴，∴∠PMN=∠DCE.
∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE.
∴，即.
化简整理得：m与x的函数关系式是：.
∵＜0，∴m有最大值，当x=3时，m的最大值是15.
考点：1.二次函数综合题;2.单动点问题;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.平行四边形的判定;5.勾股定理;6.相似三角形的判定和性质;7.由实际问题列函数关系式;8.二次函数的最值.