题目内容
（2012•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=
，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为
？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为
| ||
| 2 |
分析：（1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，如图1所示；
（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．
（2）求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，如图1所示；
（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．
解答：解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=
，∴OB=4，
∴B（-4，0），B1（0，-4），A2（3，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，
∴
，
解得
∴抛物线的解析式为：y=
x2+
x-4．
（2）点P是第三象限内抛物线y=
x2+
x-4上的一点，
如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=
m2+
m-4．
于是PC=|n|=-n=-
m2-
m+4，OC=|m|=-m，BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m．
S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC-S△OBB1
=
×BC×PC+
×（PC+OB1）×OC-
×OB×OB1
=
×（4+m）×（-
m2-
m+4）+
×[（-
m2-
m+4）+4]×（-m）-
×4×4
=-
m2-
m=-
（m+2）2+
当m=-2时，△PBB1的面积最大，这时，n=-
，即点P（-2，-
）．
（3）
假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为
．
如答图2，过点Q作QD⊥BB1于点D．
由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：-
（x0+2）2+
，
在Rt△OBB1中，BB1=
=4
∵S△QBB1=
×BB1×QD=
×4
×
=2，
∴-
（x0+2）2+
=2，
解得x0=-1或x0=-3
当x0=-1时，y0=-4；当x0=-3时，y0=-2，
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为
，这样的点Q的坐标是（-1，-4）或（-3，-2）．
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∴B（-4，0），B1（0，-4），A2（3，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，
∴
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解得
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∴抛物线的解析式为：y=
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（2）点P是第三象限内抛物线y=
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如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=
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于是PC=|n|=-n=-
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S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC-S△OBB1
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当m=-2时，△PBB1的面积最大，这时，n=-
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（3）
假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为
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如答图2，过点Q作QD⊥BB1于点D．
由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：-
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在Rt△OBB1中，BB1=
| OB2+OB12 |
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∵S△QBB1=
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∴-
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解得x0=-1或x0=-3
当x0=-1时，y0=-4；当x0=-3时，y0=-2，
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为
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点评：本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．
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