Question

【题目】（方法提炼）

解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．

（问题情境）

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．

小明在分析解题思路时想到了两种平移法：

方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；

方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；

（尝试应用）

（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；

（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；

（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．

①求∠DMC的度数；

②连结AC交DE于点H，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①∠DMC＝45°；②．

【解析】

（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，证明四边形BFGH是平行四边形，得出BH＝FG，由ASA证得△ABE≌△CBH，即可得出结论；

②平移线段BC至FH交AE于点K，则四边形BCHF是矩形，由ASA证得△ABE≌△FHG，即可得出结论；

（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得CF＝，CD＝2，DF＝5，得出CF2＋CD2＝DF2，则∠FCD＝90°，由tan∠AOC＝tan∠FDC＝即可得出结果；

（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，由SAS证得△AGD≌△BEG，得出DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，证明∠EGD＝90°，得出∠GDE＝∠GED＝45°，即可得出结果；

②证明△ADH∽△ACB，得出＝＝．

（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：

由平移的性质得：FG//BH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB//CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，

∴四边形BFGH是平行四边形，

∴BH＝FG，

∵FG⊥AE，

∴BH⊥AE，

∴∠BKE＝90°，

∴∠KBE+∠BEK＝90°，

∵∠BEK+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CBH，

在△ABE和△CBH中，，

∴△ABE≌△CBH（ASA），

∴AE＝BH，

∴AE＝FG；

②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：

则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，

∴FH＝BC，∠FHG＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝90°，

∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，

∵FG⊥AE，

∴∠HFG+∠AKF＝90°，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠HFG，

在△ABE和△FHG中，，

∴△ABE≌△FHG（ASA），

∴AE＝FG；

（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：

∴∠AOC＝∠FDC，

设正方形网格的边长为单位1，

则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，

根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，

∵（）2+（2）2＝52，

∴CF2+CD2＝DF2，

∴∠FCD＝90°，

∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；

（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：

则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，

∴DC＝GB，

∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，

∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°

∴DC＝AD＝AP＝GB，

∴AG＝BP＝BE，

在△AGD和△BEG中，，

∴△AGD≌△BEG（SAS），

∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，

∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，

∴∠EGD＝90°，

∴∠GDE＝∠GED＝45°，

∴∠DMC＝∠GDE＝45°；

②如图3﹣2所示：

∵AC为正方形ADCP的对角线，

∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，

∴AC＝AD，

∵∠HCM＝∠BCA，

∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，

∴△ADH∽△ACB，

∴＝＝＝．