Question

如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于第一象限内的点A，且点A的横坐标为1。过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求线段AC的长度；
（3）直接写出：当＞＞0时，x的取值范围；
（4）在y轴上是否存在一点p，使△PAO为等腰三角形，若存在，请直接写出p点坐标，若不存在，请说明理由。（要求至少写两个）

Answer 1

（1），；（2）；（3）；（4）

试题分析：（1）根据反比例函数的k的几何意义即可求得反比例函数的解析式，从而可以求得点A的坐标，再根据点A在图象上即可求得一次函数的解析式；
（2）把时代入即可求得点C的坐标，再根据勾股定理求解即可；
（3）找到第一象限中反比例函数的图象在一次函数的图象上方的部分对应的x值的范围即可；
（4）根据函数图象上的点的坐标的特征结合等腰三角形的性质求解即可.
（1）∵
∴
∵经过第一象限
∴  
∴
当时代入得
∴A（1，2）
∵A（1，2）在图象上
∴，解得
∴；
（2）当时代入得
∴C（－1，0）
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2
∴AC＝
（3）由图可知：当时，＞＞0时；
（4）存在点，使△PAO为等腰三角形
（OA的垂直平分线与轴的交点）等等.
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.