Question

【题目】规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A.①②
B.③④
C.②③
D.②④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得 （x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2 ， 或x2≠2x1 ，
∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1 ，
∴x1x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=﹣1时，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1 ，
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；④∵点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣ ，x2=﹣ ，
∴x2=4x1 ，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．
【考点精析】本题主要考查了求根公式和根与系数的关系的相关知识点，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能正确解答此题．