题目内容
【题目】如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=﹣
x+b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF、OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明；
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例函数在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式y=
； （2）点F的坐标为（2，4）；（3）∠AOF=
∠EOC， 理由见解析；（4）P的坐标是（
，0）或（﹣5，0）．
【解析】试题分析：（1）设反比例函数的解析式为y=
，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；
（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=-
x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；
（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论；
（4）分△PDQ的三个角分别是直角，三种情况进行讨论，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，即可构造全等的直角三角形，设出P的坐标，根据点在图象上，则一定满足函数的解析式即可求解．
试题解析：（1）设反比例函数的解析式y=
，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴4=
，即k=12，
∴反比例函数的解析式y=
；
（2）∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（4，3），
∵点D在直线y=﹣
x+b上，
∴3=﹣
×4+b，
解得：b=5，
∴直线DF为y=﹣
x+5，
将y=4代入y=﹣
x+5，得4=﹣
x+5，
解得：x=2，
∴点F的坐标为（2，4）；
（3）∠AOF=
∠EOC，
理由如下：在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS）．
∴∠AOF=∠COG．
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（ASA）．∴EG=HG．
设直线EG：y=mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴
，解得
，
∴直线EG：y=﹣2x+10．
令y=﹣2x+10=0，得x=5．
∴H（5，0），OH=5．
在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5．
∴OH=OE．
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线．
∴OG是等腰三角形顶角的平分线．
∴∠EOG=∠GOH．
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=
∠EOC；
（4）P的坐标是（
，0）或（﹣5，0）．
当Q在D的右侧（如图1），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QL⊥DK，于点L．
则△DPK≌△QDK，
设P的坐标是（a，0），则KP=DL=4﹣a，QL=DK=3，则Q的坐标是（4+3，4﹣3+a）即（7，﹣1+a），
把（7，﹣1+a）代入y=
得：7（﹣1+a）=12，
解得：a=
，
则P的坐标是（
，0）；
当Q在D的左侧（如图2），且∠PDQ=90°时，作DK⊥x轴，作QR⊥x轴，作DL⊥QR，于点L，
则△QDL≌△PDK，
则DK=DL=3，设P的坐标是b，则PK=QL=4﹣b，则QR=4﹣b+3=7﹣b，OR=OK﹣DL=4﹣3=1，
则Q的坐标是（1，7﹣b），代入y=
得：b=﹣5，则P的坐标是（﹣5，0）；
总之，P的坐标是（
，0）或（﹣5，0）．
