题目内容
【题目】如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【答案】解:（1）
（2）存在P1（－1， 
）、P2（1，6），P3（1， 
）
（3）连OE设四边形BOCE的面积为S，点E的坐标为（
）
∵E在第二象限
∴3＜x＜0 －x2－2x＋3＞0
∵S＝S△BOE＋S△COE＝
＋
×3×（－×）
＝
∵－3＜x＜0
∴当x＝－
时，S最大为
此时，E（
）
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）分CP=MP、CM=CP、CM=MP三种情况讨论，（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，－
－2a＋3）（－3＜a＜0），然后用a表示出四边形BOCE面积，然后利用二次函数的性质确定最大值即可得到点E坐标．
试题解析：解︰（1）由题知︰
，解得︰
∴所求抛物线解析式为︰
（2）存在符合条件的点P，
其坐标为P（－1，
）或P（－1，－）或P（－1，6）或P（－1，
）
（3）解法①：
过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，－－2a＋3）（－3＜a＜0）
∴EF＝－－2a＋3，BF＝a＋3，OF＝－a
∴S四边形BOCE＝
BF·EF＋（OC＋EF）·OF
＝（a＋3）·（－－2a＋3）＋（－－2a＋6）·（－a）
＝
＝－
＋
∴当a＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（－，
）
解法②：
过点E作EF⊥x轴于点F，设E（x，y）（－3＜x＜0）
则S四边形BOCE＝（3＋y）·（－x）＋（3＋x）·y
＝（y－x）＝（
）＝－
＋
∴当x＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时，点E坐标为（－，）
