题目内容
24、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果．
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明．
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果．
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明．
分析：（1）在E点，F点的位置发生变化时，AE，EF，FB中最长线断始终是EF；
（2）如图，△ACE绕C旋转90度到△CBM的位置，连接FM．根据作法知道△ACE≌△BCM，然后根据全等三角形的性质可以得到CE=CM，∠ACE=∠BCM，∠A=∠CBM=45°，AE=BM，再根据已知∠ACB=90°，∠ECF=45°，可以证明△ECF≌△MCF，然后利用全等三角形的性质就可以证明△BMF是直角三角形，从而证明题目的结论．
（2）如图，△ACE绕C旋转90度到△CBM的位置，连接FM．根据作法知道△ACE≌△BCM，然后根据全等三角形的性质可以得到CE=CM，∠ACE=∠BCM，∠A=∠CBM=45°，AE=BM，再根据已知∠ACB=90°，∠ECF=45°，可以证明△ECF≌△MCF，然后利用全等三角形的性质就可以证明△BMF是直角三角形，从而证明题目的结论．
解答：解：（1）观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长线段始终是EF．（3分）
（2）AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形．（4分）
证明如下：
在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，连接EG、FG（5分）
又∵CE=CE
则△ACE≌△GCE（SAS），
∴∠1=∠A（8分）
同理：△CGF≌△CBF，∴∠2=∠B（9分）
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∴∠1+∠2=90°（10分）
∴∠EGF=90°（11分）
∴AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形．（12分）
（2）AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形．（4分）
证明如下：
在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，连接EG、FG（5分）又∵CE=CE
则△ACE≌△GCE（SAS），
∴∠1=∠A（8分）
同理：△CGF≌△CBF，∴∠2=∠B（9分）
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∴∠1+∠2=90°（10分）
∴∠EGF=90°（11分）
∴AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形．（12分）
点评：此题是开放性试题，利用等腰直角三角形的性质来探究图形变换的规律，最后利用旋转法证明探究的规律．
练习册系列答案
相关题目
的坐标为（-1，0）．
如图，已知△ABC是等边三角形，AB交⊙O于点D，DE⊥AC于点E．
如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
（2012•襄城区模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（2013•奉贤区二模）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上的一个动点，以AD为边作等边△ADE，过点E作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点F，G，联结BE．