Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°.
（1）如图1，若AC⊥BD，且AC＝5，BD＝3，则S_梯形ABCD＝                ；
（2）如图2，若DE⊥BC于E，BD＝BC，F是CD的中点，试问：∠BAF与∠BCD的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；

（3）在（2）的条件下，若AD＝EC，＝     .

Answer 1

（1）；                                             
（2）∠BAF=∠BCD.证明如下：
连结EF、BF                                           

∵DF=CF，∠DEC=90°
∴EF=CF=CD
∴∠FEC=∠C                                                  
又∠C＋∠ADF=180°
∠FEC＋∠BEF=180°
∴∠ADF=∠BEF
∵∠BAD=∠ABE=∠BED=90°
∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE
∴△ADF≌△FEB            
∴FA=FB
∴∠FAB=∠ABF                
又BD=BC，DF=CF
∴BF⊥CD
∴∠BFD=∠BAD=90°
∴∠ABF＋∠ADF=180°
∴∠ABF=∠C
∴∠BAF=∠BCD                                                  
（3）3.   

（1）通过平移一腰可知道，梯形的面积可转化为直角三角形的面积，即
连接EF、BF，先证明四边形ABED是矩形，AD=BE，得到△ADF≌△FEB，FA=FB，∠FAB=∠ABF，利用BF⊥CD可证∠ABF=∠C即∠BAF=∠BCD；
（3）利用三角形相似的性质，面积比等于相似比的平方可求解