题目内容
已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+5=0的两个正整数根之一,且另两边长为BC=3,AB=5,求cosA.
∵AC为x2+mx+5=0的两个正整数根之一,则两根的积是5,
∴AC≤5,
∵BC=3,AB=5,
∴5-3<AC<5+3,即2<AC<8,
∴2<AC≤5,
∴AC=3或4或5.
作CD⊥AB于点D,如图1,
AC=3时,AC=BC,
∴AD=
AB=
×5=
,cosA=
=
=
;
当AC=4时,△ABC是直角三角形,∠C=90°,则cosA=
=
;
当AC=5时,作CD⊥AB于点D,作AE⊥BC于点E,如图2.
则CE=
BC=
,
在直角△ACE中,AE=
=
,
∵2SABC=AE•BC=AB•CD,
∴CD=
=
=
,
∴AD=
=
,
∴cosA=
=
=
.
∴AC≤5,
∵BC=3,AB=5,
∴5-3<AC<5+3,即2<AC<8,
∴2<AC≤5,
∴AC=3或4或5.
作CD⊥AB于点D,如图1,
AC=3时,AC=BC,
∴AD=
1 |
2 |
1 |
2 |
5 |
2 |
AD |
AC |
| ||
3 |
5 |
6 |
当AC=4时,△ABC是直角三角形,∠C=90°,则cosA=
AC |
AB |
4 |
5 |
当AC=5时,作CD⊥AB于点D,作AE⊥BC于点E,如图2.
则CE=
1 |
2 |
3 |
2 |
在直角△ACE中,AE=
AC2-CE2 |
| ||
2 |
∵2SABC=AE•BC=AB•CD,
∴CD=
AE•BC |
AB |
3×
| ||||
5 |
3
| ||
10 |
∴AD=
AC2-CD2 |
| ||
10 |
∴cosA=
AC |
AB |
| ||||
5 |
| ||
50 |
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