题目内容

如图,已知AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ABC沿AD对折,点C落在点E的位置,连接BE,若BC=6cm.
(1)求BE的长;
(2)当AD=4cm时,求四边形BDAE的面积.
分析:(1)由折叠可知:△ADC≌△ADE,∠EDC=2∠ADC=90°,ED=DC,又BD=DC,△BDE是等腰直角三角形,可求BE长;
(2)由(1)知,∠BED=45°,∠EDA=45°,得到四边形BDAE是梯形,已知上底AD=4cm,下底BE=3
2
cm,为求梯形高,过D作DF⊥BE于点F,DF实际上就是等腰直角三角形BDE斜边上的高,可求长度.
解答:解:(1)由题意,有ED=DC,∠ADE=∠ADC=45°,
∴∠EDC=90°,
又AD为△ABC的中线,
∴CD=
1
2
BC=3cm,ED=DC=BD=3cm,
在Rt△BDE中,由勾股定理,有BE=
BD2+DE2
=
32+32
=3
2
(cm);

(2)在Rt△BDE中,∵BD=DE,
∴∠EBD=45°,
∴∠EBD=∠ADC=45°,
∴BE∥AD,
∴BDAE是梯形,
过D作DF⊥BE于点F,
在Rt△BDE中,有
1
2
BD•DE=
1
2
BE•DF,
∴DF=
3
2
2
cm.
∴S梯形BDAE=
1
2
(BE+AD)•DF=
1
2
(3
2
+4)×
3
2
2
=(
9
2
+3
2
)cm2
点评:本题考查了图形的折叠与拼接,勾股定理,以及三角形、梯形的面积公式,解题时应分别对每一个图形进行仔细分析.
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