题目内容

【题目】已知,如图,点Mx轴上,以点M为圆心,2.5长为半径的圆交y轴于AB两点,交x轴于Cx10)、Dx20)两点,(x1x2),x1x2是方程x2x+1=x+22的两根.

1)求点CD及点M的坐标;

2)若直线y=kx+b切⊙M于点A,交x轴于P,求PA的长;

3M上是否存在这样的点Q,使点QAC三点构成的三角形与AOC相似?若存在,请求出点的坐标,并求出过ACQ三点的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) C10),D40),(1.50);(2) ;(3) ACQ三点的抛物线的解析式为:y=x2+x+2

【解析】解:(1)x(2x+1)=(x+2)2整理得,x23x﹣4=0,

解得x1=﹣1,x2=4,

C、D的坐标是C(﹣1,0),D(4,0),

=1.5

M的坐标是(1.5,0),

故答案为:C(﹣1,0),D(4,0),(1.5,0);

(2)如图,连接AM,则AM=2.5,

RtAOM中,AO==2

A的坐标是(0,2),

PAM相切,

AMPA

∴∠MAO+∠PAO=90°,

∵∠AMO+∠MAO

∴∠AMO=∠PAO

AOMPOA中,

∴△AOM∽△POA

,

,

解得PA=

(3)存在.

如图,连接AC、AD

∴∠CAD=90°,

ACODCA中,

∴△ACO∽△DCA

存在点Q,与点D重合时,点Q、A、C三点构成的三角形与AOC相似,

此时,设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c

,

解得,

ACQ三点的抛物线的解析式为:y=x2+x+2

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