题目内容
【题目】已知,如图,点M在x轴上,以点M为圆心,2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点,交x轴于C(x1,0)、D(x2,0)两点,(x1<x2),x1、x2是方程x(2x+1)=(x+2)2的两根.
(1)求点C、D及点M的坐标;
(2)若直线y=kx+b切⊙M于点A,交x轴于P,求PA的长;
(3)⊙M上是否存在这样的点Q,使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似?若存在,请求出点的坐标,并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) C(﹣1,0),D(4,0),(1.5,0);(2) ;(3) 过A、C、Q三点的抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2.
【解析】解:(1)x(2x+1)=(x+2)2整理得,x2﹣3x﹣4=0,
解得x1=﹣1,x2=4,
∴点C、D的坐标是C(﹣1,0),D(4,0),
=1.5,
∴点M的坐标是(1.5,0),
故答案为:C(﹣1,0),D(4,0),(1.5,0);
(2)如图,连接AM,则AM=2.5,
在Rt△AOM中,AO==2,
∴点A的坐标是(0,2),
∵PA与⊙M相切,
∴AM⊥PA,
∴∠MAO+∠PAO=90°,
又∵∠AMO+∠MAO,
∴∠AMO=∠PAO,
在△AOM与△POA中, ,
∴△AOM∽△POA,
∴,
即,
解得PA=;
(3)存在.
如图,连接AC、AD,
∴∠CAD=90°,
在△ACO与△DCA中, ,
∴△ACO∽△DCA,
∴存在点Q,与点D重合时,点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似,
此时,设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c,
则,
解得,
∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2.
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