题目内容
【题目】如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．
（1）求抛物线M2的解析式；
（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；
（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则
的值是否为定值，证明你的结论．
【答案】（1）y＝﹣x2+10x﹣18；（2）4，6；（3）定值1，见解析
【解析】
（1）先将抛物线M1：y=-x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式；
（2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值；
（3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出
的值为1．
解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；
（2）∵抛物线M1与M2交于点B，
∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，
解得，x＝3，
∴B（3，3），
将点B（3，3）代入y＝kx，
得，k＝1，
∴yOB＝x，
∵抛物线M2与直线OB交于点C，
∴x＝﹣x2+10x﹣18，
解得，x1＝3，x2＝6，
∴C（6，6），
∵点P的横坐标为m，
∴点P（m，﹣m2+4m），
则Q（m，﹣m2+10m﹣18），
∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，
∴S△PQC＝
（6m﹣18）（6﹣m）
＝﹣3m2+27m﹣54，
＝﹣3（m﹣
）2+
，
在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时，
x1＝0，x2＝4，
∴A（4，0），
∵B（3，3），
∴3≤m≤4，
∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6；
（3）的值是定值1，理由如下：
设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，
则yEH＝x﹣k，
∴令x﹣k＝﹣x2+4x，
解得，x1＝
，x2＝
，
∴xF＝，xE＝，
令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，
解得，x1＝
，x2＝
，
∴xH＝，xG＝，
∴ME＝xG﹣xE＝﹣＝3，
FN＝xH﹣xF＝
＝3，
分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，
则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，
∴△GEM∽△HFN，
∴
＝
＝
＝1，
∴的值是定值1．
