题目内容

【题目】已知,在△ABC中,∠A=90°AB=AC,点DBC的中点,∠EDF=90°

1)(观察发现)如图①,若点EF分别为ABAC上的点,则图中全等三角形一共有 对;

2)(类比探究)若将∠EDF绕点D在平面内旋转,当旋转到EF点分别在ABCA延长线上时,BE=AF吗?请利用图②说明理由.

3)(解决问题)连结EF,把△EDF把绕点D在平面内旋转,当旋转到DF与△ABC的腰所在的直线垂直时,请直接写出∠BDF的度数.

【答案】13;(2BE=AF;见解析;(345°或135°.

【解析】

1)有3对,即△EDB≌△FDA△EDA≌△FDC△ADB≌△ADC.根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=FAD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=ADF,由此即可证出△BDE≌△ADFASA),其余同理可证得;
2)根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=FADBD=AD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=ADF,由此即可证出△EDB≌△FDAASA),再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF

3)画出符合条件的图形即可求解.

1)有3对,即△EDB≌△FDA△EDA≌△FDC△ADB≌△ADC.证明如下:

∵AB=AC,点DBC的中点,

∴∠ADB=∠ADC=90°BD=CD

∴△ADB≌△ADC

∵∠EDB+∠EDA=90°∠EDA+∠FDA=90°

∴∠EDB=∠FDA

△EDB△FDA中,

∴△EDB≌△FDA

同理可证△EDA≌△FDC.

2BE=AF,证明如下:

连接AD,如图所示.

∵∠ABD=∠BAD=45°

∴∠EBD=∠FAD=135°

∵∠EDB+∠BDF=90°∠BDF+∠FDA=90°

∴∠EDB=∠FDA

△EDB△FDA中,

∴△EDB≌△FDAASA),

∴BE=AF

345°135°.如图所示:

∵DFAC,

∴∠CDF=45°,

∴∠BDF=135°

或者

∵DFAB,

∴∠BDF=45°

故答案是:45°135°

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