题目内容
【题目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点,∠EDF=90°.
(1)(观察发现)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,则图中全等三角形一共有 对;
(2)(类比探究)若将∠EDF绕点D在平面内旋转,当旋转到E、F点分别在AB、CA延长线上时,BE=AF吗?请利用图②说明理由.
(3)(解决问题)连结EF,把△EDF把绕点D在平面内旋转,当旋转到DF与△ABC的腰所在的直线垂直时,请直接写出∠BDF的度数.
【答案】(1)3;(2)BE=AF;见解析;(3)45°或135°.
【解析】
(1)有3对,即△EDB≌△FDA,△EDA≌△FDC,△ADB≌△ADC.根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出△BDE≌△ADF(ASA),其余同理可证得;
(2)根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD,根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可证出△EDB≌△FDA(ASA),再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF.
(3)画出符合条件的图形即可求解.
(1)有3对,即△EDB≌△FDA,△EDA≌△FDC,△ADB≌△ADC.证明如下:
∵AB=AC,点D为BC的中点,
∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD,
∴△ADB≌△ADC;
∵∠EDB+∠EDA=90°,∠EDA+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中,,
∴△EDB≌△FDA,
同理可证△EDA≌△FDC.
(2)BE=AF,证明如下:
连接AD,如图②所示.
∵∠ABD=∠BAD=45°,
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中,,
∴△EDB≌△FDA(ASA),
∴BE=AF.
(3)45°或135°.如图所示:
∵DF⊥AC,
∴∠CDF=45°,
∴∠BDF=135°;
或者
∵DF⊥AB,
∴∠BDF=45°;
故答案是:45°或135°.
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