题目内容
【题目】已知:三角形纸片ABC中,∠C=90°,AB=12,BC=6,B′是边AC上一点.将三角形纸片折叠,使点B与点B′重合,折痕与BC、AB分别相交于E、F.设BE=x,
(1)若x=4,求B′C的长;
(2)当△AFB′是直角三角形时,求出x的值.
【答案】(1);(2)x=4或2412
【解析】
(1)设B′C=y,根据折叠的性质得BE=B′E=4,在Rt△EB'C中利用勾股定理得y2+(6-x)2=x2,然后代入求值,解方程即可;
(2)根据锐角三角函数,得∠A=30°,由折叠的性质得到∠FB'E=∠B=60°,然后讨论:①当∠AFB'=90°时,则∠AB′F=60°,易得∠B'EC=30°,则B′C=B′E,即y=
x,把y代入得到关于x的方程,解方程求出满足条件的x的值;②当∠AB'F=90°时,则∠EB'C=30°,即有EC=
EB′,即6-x=
x,解方程即可.
解:(1)设B′C=y
∵三角形纸片折叠,使点B与点B′重合,
∴BE=B′E,
∴B'E=x,CE=6-x,
在Rt△EB'C中,B'E2=CE2+B'C2,即y2+(6-x)2=x2,
当x=4时,
∴y2+(6-4)2=42
解得:(负值舍去)
∴B′C′=;
(2)由(1)可知:y2+(6-x)2=x2,
解得:
∵∠C=90°,AB=12,BC=6,
∴
∴∠A=30°,
∴∠FB'E=∠B=60°,
①当∠AFB'=90°时,则∠AB′F=60°,
∴∠EB'C=60°,
∴∠B'EC=30°,
∴B′C=B′E,即y=
x,
∴,
解得x=24±12,
∵3≤x≤6,
∴x=24-12;
②当∠AB'F=90°时,则∠EB'C=30°,
∴EC=EB′,即6-x=
x,解得x=4,
所以x=4或2412时,△AFB’是直角三角形.
