题目内容

【题目】已知:三角形纸片ABC中,∠C=90°AB=12BC=6B′是边AC上一点.将三角形纸片折叠,使点B与点B′重合,折痕与BCAB分别相交于EF.设BE=x

1)若x=4,求B′C的长;

2)当AFB′是直角三角形时,求出x的值.

【答案】1;(2x=42412

【解析】

1)设B′C=y,根据折叠的性质得BE=B′E=4,在RtEB'C中利用勾股定理得y2+6-x2=x2,然后代入求值,解方程即可;

2)根据锐角三角函数,得∠A=30°,由折叠的性质得到∠FB'E=B=60°,然后讨论:①当∠AFB'=90°时,则∠AB′F=60°,易得∠B'EC=30°,则B′C=B′E,即y=x,把y代入得到关于x的方程,解方程求出满足条件的x的值;②当∠AB'F=90°时,则∠EB'C=30°,即有EC=EB′,即6-x=x,解方程即可.

解:(1)设B′C=y

∵三角形纸片折叠,使点B与点B′重合,

BE=B′E

B'E=xCE=6-x

RtEB'C中,B'E2=CE2+B'C2,即y2+6-x2=x2

x=4时,

y2+6-42=42

解得:(负值舍去)

B′C′=

2)由(1)可知:y2+6-x2=x2

解得:

∵∠C=90°AB=12BC=6

∴∠A=30°

∴∠FB'E=B=60°

①当∠AFB'=90°时,则∠AB′F=60°

∴∠EB'C=60°

∴∠B'EC=30°

B′C=B′E,即y=x

解得x=24±12

3≤x≤6

x=24-12

②当∠AB'F=90°时,则∠EB'C=30°

EC=EB′,即6-x=x,解得x=4

所以x=42412时,AFB’是直角三角形.

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