Question

如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，△EAC旋转后能与△ABD重合，EC与BD相交于点F．
（1）试说明△AEC≌△ABD．
（2）求∠DFC的度数．

Answer 1

（1）证明：∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AE=AB，AD=AC，∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，
即∠EAC=∠BAD，
在△AEC和△ABD中
，
∴△AEC≌△ABD．

（2）证明：∵△AEC≌△ABD，
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠AGC=∠AEG+∠EAB=∠AEC+60°，
∴∠AGC=∠GFB+∠ABD=∠GFB+∠AEC，
∴∠AEC+60°=∠GFB+∠AEC，
∴∠GFB=60°，
∴∠DFC=∠GFB=60°．
分析：（1）根据等边三角形性质推出AE=AB，AD=AC，∠EAB=∠DAC=60°，求出∠EAC=∠BAD，根据SAS证△AEC和△ABD全等即可；
（2）根据等边三角形性质推出∠EAB=60°，根据三角形外角性质推出∠AGC=∠AEC+60°=∠ABD+∠GFB，求出∠GFB的度数，根据对顶角相等求出即可．
点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，旋转性质，对顶角，三角形外角性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．