题目内容

已知两直线l₁、l₂分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₂交于点K，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的 $数学公式$ 倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直线l₁按顺时针方向绕点C旋转α°（0＜α＜90），与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时的α的值．

解：（1）在Rt△ABC中，OB=1，OA=3，且CO⊥AB；
∴OC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 C（0，- $\text{[math]}$ ）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标后，得：
a（0+1）（0-3）=- $\text{[math]}$ ，a= $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式：y= $\text{[math]}$ （x+1）（x-3）= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．

（2）易知OA=3、OB=1、OC= $\text{[math]}$ ，则：S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•OC= $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
①当点P在x轴上方时，由题意知：S_△ABP= $\text{[math]}$ S_△ABC，则：
点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即点P的纵坐标为 $\text{[math]}$ ；
令y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，化简得：2x²-4x-9=0
解得 x= $\text{[math]}$ ；
∴P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于 $\text{[math]}$ S_△ABC，此种情况不合题意；
③当点P在抛物线的A、C段时，S_△ACP= $\text{[math]}$ AC•h= $\text{[math]}$ S_△ABC= $\text{[math]}$ ，则h=1；
在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l₁，交y轴于点E，如右图；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE= $\text{[math]}$ 、OE=OC+CE= $\text{[math]}$ ，点E（0，- $\text{[math]}$ ）
∴直线DE：y= $\text{[math]}$ x-- $\text{[math]}$ ，联立抛物线的解析式，有：
$\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
∴P₃（1，- $\text{[math]}$ ）、P₄（2，- $\text{[math]}$ ）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（1，- $\text{[math]}$ ）、（2，- $\text{[math]}$ ）．

（3）由（1）知：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x-1）²- $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的对称轴 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC= $\text{[math]}$ ，则∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；
过点C作直线CN∥x轴，交抛物线于点N，如右图；
由抛物线的对称性可得：N（2，- $\text{[math]}$ ），所以 CN=2；
易知直线BC：y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，则 K（1，-2 $\text{[math]}$ ），CK= $\text{[math]}$ =2；
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等边三角形----①．
Ⅰ、KC=KM时，点C、M关于抛物线的对称轴对称，符合①的情况，即点M、N重合；
Ⅱ、KC=CN时，由于KC=BC，所以此时点M与B、N重合；
Ⅲ、MK=MC时，点M在线段CK的中垂线上，此时M、N重合；
综上，只有一个符合条件的点M（即点N），此时直线l₁的旋转角度α=∠ACN=90°-∠2=30°．
分析：（1）在Rt△ABC中，由射影定理可求出OC的长，由此确定点C的坐标；知道A、B、C三点坐标后，利用待定系数法可确定该抛物线的解析式．
（2）此题中，以A、B、C、P为顶点的四边形可分作两部分，若该四边形的面积是△ABC面积的1.5倍，那么四边形中除△ABC以外部分的面积应是△ABC面积的一半，分三种情况：
①当点P在x轴上方时，△ABP的面积应该是△ABC面积的一半，因此点P的纵坐标应该是点C纵坐标绝对值的一半，代入抛物线解析式中即可确定点P的坐标；
②当点P在B、C段时，显然△BPC的面积要远小于△ABC面积的一半，此种情况不予考虑；
③当点P在A、C段时，由A、C的长以及△ACP的面积可求出点P到直线AC的距离，首先在射线CK上取线段CD，使得CD的长等于点P到直线AC的距离，先求出过点D且平行于l₁的直线解析式，这条直线与抛物线的交点即为符合条件的点P．
（3）从题干的旋转条件来看，直线l₁旋转的范围应该是l₁、l₂中间的部分，而△MCK的腰和底并不明确，所以分情况讨论：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；
求出点K的坐标、∠BCO的度数结合上述三种情况求解．
点评：该题考查了利用待定系数法确定函数解析式，图形面积的解法以及等腰三角形的判定和性质等重点知识；后两题涉及的情况较多，应分类进行讨论，容易漏解．