题目内容

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8）DCQ的面积为y₁平方厘米，△PCQ的面积为y₂平方厘米．
（1）求y₁与x的函数关系，并在图2中画出y₁的图象；
（2）如图2，y₂的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求AC的长；
（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点，且0＜OG＜4，过G作EF垂直于x轴，分别交y₁、y₂的图象于点E、F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②线段EF长有可能等于3吗？若能，请求出相应的x的值，若不能请说明理由．

解：（1）∵∠C=90°，
∴S_△DCQ= $\text{[math]}$ •CQ•CD= $\text{[math]}$ ×3x= $\text{[math]}$ x，
∴y₁= $\text{[math]}$ x，
图象如图所示；

（2）∵抛物线的顶点坐标是（4，12），
∴当x=4时，△PCQ面积为12，
此时，AP=4k，
PC=AC-AP=8k-4k=4k，
CQ=4，
∴S_△PCQ= $\text{[math]}$ CQ•PC=12，
即 $\text{[math]}$ ×4×4k=12，
解得k= $\text{[math]}$ ，
所以，点P的速度每秒 $\text{[math]}$ 厘米，
所以，AC=8× $\text{[math]}$ =12厘米；

（3）①观察图象，知线段的长EF=y₂-y₁，
表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）；
②y₂= $\text{[math]}$ PC•CQ= $\text{[math]}$ （12- $\text{[math]}$ x）•x=- $\text{[math]}$ x²+6x，
∵EF=y₂-y₁，
∴EF=- $\text{[math]}$ x²+6x- $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
假设EF=3，则- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x=3，
整理得，x²-6x+4=0，
解得x₁=3+ $\text{[math]}$ ，x₂=3- $\text{[math]}$ ，
∵0＜OG＜4，
∴0＜x＜4，
∴x=3- $\text{[math]}$ ，
故当x=3- $\text{[math]}$ 时，EF=3．
分析：（1）根据∠C=90°，利用直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列式整理即可得解，再利用两点法画出函数图象即可；
（2）根据x=4表示出AP、PC、CQ的长，再根据△PCQ的面积列式求解即可得到k的值，然后根据AC=8k计算即可得解；
（3）①根据函数值y表示出两个三角形的面积，EF表示两个三角形的面积的差；
②根据k值求出y₂与x的关系式，然后表示出EF，再令EF=3，解关于x的方程即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了三角形的面积，作一次函数的图象，二次函数的性质，以及函数图象上平行于y轴的两点间的距离的表示方法，综合题，但难度不大，理清点P、Q的运动过程中两个三角形的直角边的表示是解题的关键．