题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D、M分别在边AB、OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数y =的图象经过点D,与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.
【答案】(1) 反比例解析式为y=﹣,则直线DM解析式为y=﹣x﹣1;(2)P坐标为(﹣10,9)或(8,﹣9).
【解析】试题分析:(1)由正方形OABC的顶点C坐标,确定出边长,及四个角为直角,根据AD=2DB,求出AD的长,确定出D坐标,代入反比例解析式求出m的值,再由AM=2MO,确定出MO的长,即M坐标,将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,即可确定出一次函数解析式;
(2)把y=3代入反比例解析式求出x的值,确定出N坐标,得到NC的长,设P(x,y),根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求出y的值,进而得到x的值,确定出P坐标即可.
试题解析:(1)∵正方形OABC的顶点C(0,3),
∴OA=AB=BC=OC=3,∠OAB=∠B=∠BCO=90°,
∵AD=2DB,
∴AD=AB=2,
∴D(﹣3,2),
把D坐标代入y=得:m=﹣6,
∴反比例解析式为y=﹣,
∵AM=2MO,
∴MO=OA=1,即M(﹣1,0),
把M与D坐标代入y=kx+b中得: ,
解得:k=b=﹣1,
则直线DM解析式为y=﹣x﹣1;
(2)把y=3代入y=﹣得:x=﹣2,
∴N(﹣2,3),即NC=2,
设P(x,y),
∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,
∴(OM+NC)OC=OM|y|,即|y|=9,
解得:y=±9,
当y=9时,x=﹣10,当y=﹣9时,x=8,
则P坐标为(﹣10,9)或(8,﹣9).