题目内容
已知抛物线的形状与抛物线y=-
x2相同,且对称轴为x=-
,交x轴于A、D两点(A在D左边),交y轴于B(0,-4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(1),E为抛物线上在第二象限的点,连OE、AE,将线段OE沿射线EA平移,使E与A对应,O与C对应,设四边形OEAC的面积为S,问是否存在这样的点E,使S=24?若存在,请求出E点坐标,并进一步判断此时四边形OEAC的形状;若不存在,请说明理由;
(3)如图(2),在(2)的基础上,设E(xE,yE),C(xC,yC),当E点在抛物线上运动时,下列两个结论:①|xE|+|xC|的值不变;②|yE|+|yC|的值不变,有且只有一个正确,请判断正确的结论并证明求值.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201309/98/9abb8cc3.png)
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(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(1),E为抛物线上在第二象限的点,连OE、AE,将线段OE沿射线EA平移,使E与A对应,O与C对应,设四边形OEAC的面积为S,问是否存在这样的点E,使S=24?若存在,请求出E点坐标,并进一步判断此时四边形OEAC的形状;若不存在,请说明理由;
(3)如图(2),在(2)的基础上,设E(xE,yE),C(xC,yC),当E点在抛物线上运动时,下列两个结论:①|xE|+|xC|的值不变;②|yE|+|yC|的值不变,有且只有一个正确,请判断正确的结论并证明求值.
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考点:二次函数综合题
专题:
分析:(1)设出函数顶点式,将B(0,-4)代入解析式即可;
(2)假设存在这样的点,根据S=24得到S?OECA=2•S△AEO=24,即S△AEO=12,然后将坐标代入求解即可.
(3)过E作 EM⊥AO于M,过C作CN⊥AO于N,将OM+ON转化为AN+ON=OA=6即可解答.
(2)假设存在这样的点,根据S=24得到S?OECA=2•S△AEO=24,即S△AEO=12,然后将坐标代入求解即可.
(3)过E作 EM⊥AO于M,过C作CN⊥AO于N,将OM+ON转化为AN+ON=OA=6即可解答.
解答:解:(1)设函数解析式为y=-
(x+
)2+c,
将B(0,-4)代入解析式得,-4=-
(0+
)2+c,
解得,c=
,
函数解析式为y=-
(x+
)2+
;
(2)依题意知OE平行且等于AC,
∴四边形OEAC为平行四边形,
又∵OA为平行四边形OEAC的对角线,
∴S?OECA=2•S△AEO=24,即S△AEO=12,
∴
•OA•|yE|=12,
又∵A(-6,0),OA=6,
yE=-
(x+
)2+
,
∴
×6×[-
(x+
)2+
]=12,
解得,x1=-3,x2=-4,
∴E1(-3,4)或E2(-4,4),
∴这样的点有两个.
当E1(-3,4)时,有AE=OE,此时平行四边形为菱形
当E2(-4,4)时,AE≠OE,AE不垂直于OE,此时四边形OEAC为平行四边形;
(3)|xE|+|xC|的值不变,|xE|+|xC|=6,
证明:过E作EM⊥AO于M,过C作CN⊥AO于N,
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201401/120/c64d584b.png)
则|xE|=OM,|xC|=ON,
∵四边形OEAC是平行四边形,
∴OE∥AC,OE=AC,
∴△EMO≌△CNA,
∴OM=AN,
∴OM+ON=AN+ON=OA=6,即|xE|+|xC|=6.
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将B(0,-4)代入解析式得,-4=-
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解得,c=
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函数解析式为y=-
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(2)依题意知OE平行且等于AC,
∴四边形OEAC为平行四边形,
又∵OA为平行四边形OEAC的对角线,
∴S?OECA=2•S△AEO=24,即S△AEO=12,
∴
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又∵A(-6,0),OA=6,
yE=-
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解得,x1=-3,x2=-4,
∴E1(-3,4)或E2(-4,4),
∴这样的点有两个.
当E1(-3,4)时,有AE=OE,此时平行四边形为菱形
当E2(-4,4)时,AE≠OE,AE不垂直于OE,此时四边形OEAC为平行四边形;
(3)|xE|+|xC|的值不变,|xE|+|xC|=6,
证明:过E作EM⊥AO于M,过C作CN⊥AO于N,
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201401/120/c64d584b.png)
则|xE|=OM,|xC|=ON,
∵四边形OEAC是平行四边形,
∴OE∥AC,OE=AC,
∴△EMO≌△CNA,
∴OM=AN,
∴OM+ON=AN+ON=OA=6,即|xE|+|xC|=6.
点评:本题考查了二次函数综合题,对于存在性问题,先假设其存在,然后求解,若能的出结果,则存在,否则不存在.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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一个不透明的袋子中装有6个白球,4个黄球和5个红球,则任意摸出一个球是红球的概率是( )
A、
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B、
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C、
| ||
D、
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下列计算中,不正确的是( )
A、(-3a2b)•(-2ab2)=6a3b3 | ||||
B、(2×10n) • (
| ||||
C、(-2×102)(-8×103)=1.6×106 | ||||
D、(-3x)•2xy+x2y=7x2y |