Question

【题目】已知☉O上两个定点A、B和两个动点C、D，AC与BD交于点E。

(1)如图1，求证EA·EC=EB·ED

(2)如图2，若弧AB=弧BC,AD是☉O的直径，求证；AD·AC=2BD·BC

(3)如图3，若AC上BD,BC=3，求点0到弦AD的距离。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）如图1，根据两角对应相等证明△ABE∽△DCE，可得结论；

（2）如图2，连接OB交AC于F，证明△ABF∽△DAB列比例式，由垂径定理得：AF=

AC，由等弧所对的弦相等得：AB=BC，代入比例式可得结论；

（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形，根据三角形的中位线定理得：OG为△ADF的中位线，则OG=DF，由∠EDC+∠ECD=90°和∠FAD+∠AFD=90°，再由同弧所对的圆周角相等得：∠EDC=∠FAD，所以,求出BC=DF=3，从而得结论．

试题解析：（1）∵∠BAC=∠CDB,∠AEB=∠DEC

∴△ABE∽△DCE

∴

∴

(2)如图，

连接OB交AC于F，

∵OB=OA，

∴∠ABF=∠BAD，

∵，

∴∠BAF=∠BDA,

∴△ABF∽△DAB，

∴，

∴AFAD=ABBD，

∵，O是圆心，

∴AF=AC，AB=BC，

∴ACAD=BCBD，

∴ADAC=2BDBC；

(3)如图，连接AO并延长交O于F，连接DF，过O作OG⊥AD于G，

∴AG=DG，

∵AO=OF,

∴OG为△ADF的中位线，

∴OG=DF，

∵AC⊥BD，

∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵AF是O的直径，

∴∠ADF=90°，

∴∠FAD+∠AFD=90°，

∵∠AFD=∠ECD，

∴∠EDC=∠FAD，

∴，

∴BC=DF=3，

∴OG=，

∴点O到弦AD的距离是.