题目内容
【题目】(本题满分8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.
实践与操作:
根据要求尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法).
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE、CF.
猜想并证明:
判断四边形AECF的形状并加以证明.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
试题(1)根据题意画出图形即可;
(2)首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC,进而可得AF∥BC;然后再根据线段的垂直平分线的性质可知:OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°,AE=EC,FA=FC,由OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°,∠CAM=∠ACB可证明AOF≌△COE,即可得到AF=EC.因此可由AF∥BC,AF=EC,得证四边形AECF是平行四边形.最后可由AC⊥EF得证结论:菱形.
试题解析:(1)
(2)猜想:四边形AECF是菱形
证明:∵AB=AC ,AM平分∠CAD
∴∠B=∠ACB,∠CAD=2∠CAM
∵∠CAD是△ABC的外角
∴∠CAD=∠B+∠ACB
∴∠CAD=2∠ACB
∴∠CAM=∠ACB
∴AF∥CE
∵EF垂直平分AC
∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=
∴AOF≌△COE
∴AF=CE
在四边形AECF中,AF∥CE,AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AECF是菱形