题目内容
如图，射线BN、AM都垂直于线段AB，E为AM上一动点，
⊥
于F，交BN于C，
⊥
于
，连接BD．
⑴求证： 
；
⑵当
为
的中点时，求证：
；
⑶设
，请探究出使
为
等腰三角形的实数
的值．
【解析】(1)中利用⊥
得到直角三角形AEF相似于三角形ABE，然后得到结论。
（2）中，
由⑴有，因为为的中点，所以
则可以得到
从而的得到角相等
（3）中，设
，当使为
等腰三角形时，需要考查谁是腰，分类讨论得到
①
为腰，且为顶角顶点；
②为腰，且
为顶角顶点；
③为底．
①为腰，且为顶角顶点；
解得答案为
【答案】
⑴4分，证明略．
⑵4分，由⑴有
，因为
为
的中点，所以
，则
，又因为
，所以
，则
．
⑶4分．
，（
同样算对）
探究出一个解，得1分；探究出两个解共得2分；探究出三个解共得4分；
以下解法供参考
要使
为等腰三角形，分三种情况讨论，
①
为腰，且
为顶角顶点；
②为腰，且
为顶角顶点；
③为底．
①为腰，且为顶角顶点；
由⑵当为的中点时，可知，又易知四边形
为矩形，所以
，又易知
，所以
；又由四边形为矩形可知，
，所以
，从而
，于是
，则为等腰三角形，此时
；
②为腰，且为顶角顶点；
此时，
，容易得到
，则点
为
黄金分割点，
；
③为底．
此时，
，容易得到
，不难得到四边形为正方形，
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如图，射线AM∥BN，∠A=∠B=90°，点D、C分别在AM、BN上运动（点D不与A重合、点C不与B重合），E是AB边上的动点（点E不与A、B重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC且AD+DE=AB=a．
⊥
于F，交BN于C，
⊥
于
，连接BD．
；
为
的中点时，求证： 
；
，请探究出使
为
的值．