Question

如图，射线AM平行于射线BN，AB⊥BN且AB=3，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC且CD=

1

2

AC，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为t．
（1）AC长为

 

，△ACD的面积为

 

（用含有t的代数式表示）；
（2）求点D到射线BN的距离（用含有t的代数式表示）；
（3）是否存在点C，使△ACE为等腰三角形？若存在，请求出此时BC的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥BN且AB=3，BC长为t，根据勾股定理的知识，即可求得AC的长，由作CD⊥AC且CD=

1

2

AC，根据三角形面的求解方法即可求得△ACD的面积；
（2）过D作DF⊥BN交BN于点F，由∠ABC=∠CFD=90°，∠FDC=∠ACB，即可得△DFC∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得点D到射线BN的距离；
（3）分别从①当EC=AE时，E为AD中点，EC=

1

2

AD，②当AE=AC时，AM⊥DF，③当0≤t＜12时，∠AEC为钝角，故AC≠CE，当t≥12时，CE≤DF＜DC＜AC去分析求解，即可得到当BC等于

3

2

和6+3

5

时，△ACE为等腰三角形．

解答：解：（1）∵AB⊥BN，
∴∠B=90°，
∵AB=3，BC长为t，
∴AC=

AB2+BC2

=

t2+9

；
∵CD=

1

2

AC=

t2+9

2

，
∵CD⊥AC，
∴∠AD=90°，
∴△ACD的面积为：

1

2

AC•CD=

1

2

×

t2+9

2

×

t2+9

=

t2+9

4

；

（2）过D作DF⊥BN交BN于点F，
∵∠ABC=∠CFD=90°，∠FDC=∠ACB，
∴△DFC∽△CBA．
∴

DF

BC

=

DC

AC

=

1

2

，
∴DF=

t

2

，BC=t．
即点D到射线BN的距离为

t

2

；

（3）①如图，当E′C′=AE′时，E′为AD中点，E′C=

1

2

AD，
此时FC=BC，
∴t=

3

2

；
②同理，当AE=AC时，t=6+3

5

③当t=0时，C与B重合，CD=

1

2

AC，
可得DF=t=0，此时△AEC不能为等腰直角三角形，
当t=12时，CE≤DF＜DC＜AC，
∴当0≤t＜12时，∠AEC为钝角，故AC≠CE，△ACE不能为等腰三角形；
当t≥12时，CE≤DF＜DC＜AC，此时△ACE不能为等腰三角形，
综上所述，当BC=

3

2

或BC=6+3

5

时，△ACE为等腰三角形．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识．解此题的关键是注意分类讨论思想，数形结合思想与方程思想的应用．