Question

如图，射线AM∥BN，∠A=∠B=90°，点D、C分别在AM、BN上运动（点D不与A重合、点C不与B重合），E是AB边上的动点（点E不与A、B重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出∠BEC=∠EDA，再利用∠B=90°，∠A=90°即可得出；
（2）根据△AED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m，利用勾股定理得出AD的长，进而表示出△BEC的周长即可得出答案．

解答：（1）证明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°
又∵∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠EDA=90°，
∴∠BEC=∠EDA（4分），
∴△ADE∽△BEC；

（2）△AED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m
设AD=x，则DE=a-x（7分），
∵∠A=90°，
∴DE²=AE²+AD²
即a²-2ax+x²=m²+x²
∴x=

a2-m2

2a

，
由（1）知△ADE∽△BEC，
∵

△ADE的周长

△BEC的周长

=

AD

BE

=

a2-m2 2a

a-m

=

a+m

2a

，
∴△BEC的周长=

2a•△ADE的周长

a+m

=2a，
∴△BEC的周长与m的值无关．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理应用等知识，根据已知得出△ADE与△BEC周长比是解决问题的关键．