题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,设点P(x1,y1),Q(x2,y2)是图形W上的任意两点.

定义图形W的测度面积:若|x1﹣x2|的最大值为m,|y1﹣y2|的最大值为n,则S=mn为图形W的测度面积.

例如,若图形W是半径为1的⊙O,当P,Q分别是⊙O与x轴的交点时,如图1,|x1﹣x2|取得最大值,且最大值m=2;当P,Q分别是⊙O与y轴的交点时,如图2,|y1﹣y2|取得最大值,且最大值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4

(1)若图形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1.

①如图3,当点A,B在坐标轴上时,它的测度面积S=

②如图4,当AB⊥x轴时,它的测度面积S=

(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD,则此图形的测度面积S的最大值为

(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围.

【答案】(1)1,1;(2)2;(3)12≤S≤

【解析】

试题分析:(1)由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA||OB|求解即可;

②利用等腰直角三角形的性质求出AC,AB,利用测度面积S=|AB||OC|求解即可;

(2)先确定正方形有最大测度面积S时的图形,即可利用测度面积S=|AC||BD|求解.

(3)分两种情况当A,B或B,C都在x轴上时,当顶点A,C都不在x轴上时分别求解即可.

试题解析:(1)①如图3,

∵OA=OB=1,点A,B在坐标轴上,

∴它的测度面积S=|OA||OB|=1,

故答案为:1.

②如图4,

∵AB⊥x轴,OA=OB=1.

∴AB=,OC=

∴它的测度面积S=|AB||OC|=×=1,

故答案为:1.

(2)如图5,图形的测度面积S的值最大,

∵四边形ABCD是边长为1的正方形.

∴它的测度面积S=|AC||BD|=×=2,

故答案为:2.

(3)设矩形ABCD的边AB=4,BC=3,由已知可得,平移图形W不会改变其测度面积的大小,将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上,

当A,B或B,C都在x轴上时,

如图6,图7,

矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积,此时S=12.

当顶点A,C都不在x轴上时,如图8,过点A作直线AH⊥x轴于点E,过C点作CF⊥x轴于点F,过点D作直线GH∥x轴,分别交AE,CF于点H,G,则可得四边形EFGH是矩形,

当点P,Q与点A,C重合时,|x1﹣x2|的最大值为m=EF,|y1﹣y2|的最大值为n=GF.

图形W的测度面积S=EFGF,

∵∠ABC+∠CBF=90°,∠ABC+∠BAE=90°,

∴∠CBF=∠BAE,

∵∠AEB=∠BFC=90°,

∴△AEB∽△BFC,

设AE=4a,EB=4b,(a>0,b>0),则BF=3a,FC=3b,

在RT△AEB中,AE2+BE2=AB2

∴16a2+16b2=16,即a2+b2=1,

∵b>0,

在△ABE和△CDG中,

∴△ABE≌△CDG(AAS)

∴CG=AE=4a,

∴EF=EB+BF=4b+3a,GF=FC+CG=3b+4a,

∴图形W的测度面积S=EFGF=(4b+3a)(3b+4a)

=12a2+12b2+25a=12+25=12+25

时,即a=时,测度面积S取得最大值12+25×=

∵a>0,b>0,

∴S>12,

综上所述:测度面积S的取值范围为12≤S≤

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