题目内容

如图1,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=8,BD=6.现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发,点P以每秒1个单位长的速度由点A向点D做匀速运动,点Q沿折线CB—BA向点A做匀速运动.
(1)点P将要运行路径AD的长度为     ;点Q将要运行的路径折线CB—BA的长度为        .
(2)当点Q在BA边上运动时,若点Q的速度为每秒2个单位长,设运动时间为t秒.
①求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并求自变量t的取范围;
②求当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
(3)如图2,若点Q的速度为每秒a个单位长(a≤),当t =4秒时:
①此时点Q是在边CB上,还是在边BA上呢?
②△APQ是等腰三角形,请求出a的值.
(1)5;10;(2)(≤t<5);,6;(3)CB,

试题分析:(1)根据菱形的性质可知AC⊥BD,且AC与BD互相平分,再根据勾股定理即可求出菱形的边长;
(2)①当0<t≤时,由题意,得AP=t,点Q在BC上运动,过点B作BE⊥AD,垂足为E,由直角三角形的性质求出BE的长,由三角形的面积公式可得到S与t的关系式;
②当≤t<5时,点Q在BA上运动,由题意,得AP=t,AQ=10-2t,过点Q作QG⊥AD,垂足为G,则QG∥BE,可得出△AQG∽△ABE,由相似三角形的对应边成比例即可得出S关于t的关系式,再根据二次函数的最值问题进行解答即可;
(3)先判断出等腰三角形的两腰长,过点Q作QM⊥AP,垂足为点M,QM交AC于点F,根据△AMF∽△AOD∽△CQF,可得出FM的值,由QF=MQ-FM得出QF的值,进而可得出a的值.
试题解析:(1)5;10
(2)当点Q在BA上运动时,5≤2t<10,即≤t<5时.
如图,过点B作BE⊥AD,垂足为E,过点Q作QG⊥AD,垂足为G,则QG∥BE.

由题意可得BE=, AP= t,AQ=10-2t.
∴△AQG∽△ABE, ∴,
∴QG=

(≤t<5) .
<0,所以s有最大值.

∴当t=时,S的最大值为6.
(3) 解:∵a≤,则4a≤5,
∴点Q在CB上,
作QM⊥AD于M,QM交AC于点F,则QM为菱形的高.

由前面可知,QM==4.8
而当点P运行到点M时,QM最小,
所以PQ≥QM,
∵t=4时,PA=4,∴QM>PA.
∴PQ≥MQ>PA,类似的AQ>MQ>PA
∴QA=QP,△APQ是等腰三角形.
∵QM⊥AP
∴AM=AP=2.由△AMF∽△AOD
, 而AM=2,OD=3,OA=4
,

由△AMF∽△CQF,
,而QF=,FM=,AM=2.
∴CQ=
而当t=4时,CQ=4a
所以4a= ,解得a=
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