Question

如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=30°．
（1）求圆心O到CD的距离OF；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析：（1）先由AE=1cm，EB=5cm，得到半径OB=3，则OE=2，在Rt△EFO中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OF的长；
（2）连接OD，在Rt△DFO中，先利用勾股定理计算出DF，由OF⊥CD，根据垂径定理得到DF=CF，即可得到弦CD的长．

解答：解：（1）∵BO=

1

2

（AE+BE）=

1

2

（1+5）=3，
∴OE=3-1=2，
在Rt△EFO中，
∵∠OEF=30°
∴OF=1，
即点O到CD的距离为1；
（2）连接OD，如图，
在Rt△DFO中，
OD=3，
∴DF=

OD2-OF2

=

32-12

=2

2

，
∵OF⊥CD，
∴CD=2DF=4

2

∴CD的长为4

2

．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．