题目内容
如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点,点D是OC的中点,连接BD并延长,交AC于点E.
(1)说明:;
(2)当点C、点A到y轴距离相等时,求点E坐标.
(3)当的面积为时,求的值.
(1)理由见解析;(2)(,);(3)2.
解析试题分析:(1)由y=0,得出的一元二次方程的解就是A、B两点的横坐标.由此可求出A、B的坐标。通过构建相似三角形求解,过O作OG∥AC交BE于G,那么可得出两组相似三角形:△GED∽△OGD、△BOG∽△BAE,可分别用这两组相似三角形得出OG与EC的比例关系、OG与AE的比例关系,从而得出CE、AE的比例关系.
(2)由已知可求C(2,8),再求AC所在直线解析式,根据△AEF∽△ACH可求E点坐标.
(3)由D是OC的中点可知S△OCE=2S△CDE,又由已知可求S△AOC=8,从而可求出CH、AH的值,从而可求的值.
试题解析:(1)令y=0,则有-x2+2x+8=0.
解得:x1=-2,x2=4
∴OA=2,OB=4.
过点O作OG∥AC交BE于G
∴△CEG∽△OGD
∴
∵DC=DO
∴CE=0G
∵OG∥AC
∴△BOG∽△BAE
∴
∵OB=4,OA=2
∴;
(2)由(1)知A(-2,0),且点C、点A到y轴的距离相等,
∴C(2,8)
设AC所在直线解析式为:y=kx+b
把 A 、C两点坐标代入求得k=2,b=4
所以y=2x+4
分别过E、C作EF⊥x轴,CH⊥x轴,垂足分别为F、H
由△AEF∽△ACH可求EF=,OF=,
∴E点坐标为(,)
(3)连接OE
∵D是OC的中点,
∴S△OCE=2S△CED
∵S△OCE:S△AOC=CE:CA=2:5
∴S△CED:S△AOC=1:5.
∴S△AOC=5S△CED=8
∴
∴CH=8
考点: 二次函数综合题.
某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价(元) | x |
销售量y(件) | |
销售玩具获得利润w(元) | |
(3)在(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?
某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在5~50之间,每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例,在营销过程中得到了表格中的数据,
薄板的边长(cm) | 20 | 30 |
出厂价(元/张) | 50 | 70 |
⑵已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得利润是26元(利润=出厂价-成本价).
①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式.
②当边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?