题目内容
【题目】如图,已知:二次函数y=x2+bx+c 的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与 y 轴交于点 C(0,-3)在抛物线上.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点 P,求出当 PB+PC 最小时点 P的坐标;
(3)若抛物线上有一动点Q,使△ABQ的面积为6,求Q点坐标.
【答案】(1)y=x2+2x-3;(2)点 P 的坐标为(-1,-2);(3)点 Q 的坐标为(-1+,3),(-1-,3),(0,-3)或(-2,-3).
【解析】
(1)根据题目中点 A 和点 C 的坐标可以求得该抛物线的解析式;
(2)根据二次函数图象具有对称性和两点之间线段最短可以求得点P 的坐标;
(3)根据(1)中求得的函数解析式可以求得点 B 的坐标,然后根据△ABQ 的面积为 6,可以求得点Q 的纵坐标的绝对值,然后根据点Q 在抛物线上,即可求得点 Q 的坐标.
(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(-3,0)和点C(0,-3),
∴,
得,
即抛物线的解析式为y=x2+2x-3;
(2)∵抛物线解析式为y=x2+2x-3=(x+1)2-4,如图:
∴该抛物线的对称轴为直线x=-1,
∵点P为抛物线的对称轴上的一动点,点A和点B关于直线x=-1对称,
∴点P到点A的距离等于点P到点B的距离,
∵两点之间线段最短,
∴连接点A和点C与直线x=-1的交点就是使得PB+PC最小时的点P,
设过点A(-3,0)和点C(0,-3)的直线解析式为y=kx+m,
,得,
即直线AC的函数解析式为y=-x-3,
当x=-1时,y=-(-1)-3=-2,
即点P的坐标为(-1,-2);
(3)∵抛物线解析式为y=x2+2x-3,
当y=0时,x=-3或x=1,
∴点B的坐标为(1,0),
∵点A的坐标为(-3,0),
∴AB=1-(-3)=4,
∵抛物线上有一动点Q,使△ABQ的面积为6,
∴设点Q的纵坐标的绝对值为:=3,
当点Q的纵坐标为3时,则3=x2+2x-3,得x1=-1+,x2=-1-,
当点Q的纵坐标为-3时,则-3=x2+2x-3,得x3=0或x4=-2,
∴点Q的坐标为(-1+,3),(-1-,3),(0,-3)或(-2,-3).
【题目】学校组织学生到距离学校5的县科技馆去参观,学生小明因事没能乘上学校的班车,于是准备在校门口乘出租车去县科技馆,出租车收费标准如下:
里程 | 收费/元 |
3以下(含3) | 8.00 |
3以上(每增加1) | 2.00 |
(1)出租车行驶的里程为(,为整数),请用的代数式表示车费元;
(2)小明身上仅有14元钱,够不够支付乘出租车到科技馆的车费?请说明理由.