题目内容

【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,点E在边AD(不与A,D重合),点F在边CD上,且∠EBF=45°,若△ABE的外接圆⊙OCD边相切.

(1)⊙O的半径长;

(2)△BEF的面积.

【答案】(1)(2).

【解析】

(1)将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP,过点BBQ⊥EF,设⊙OCD相切于点M,连接OM,延长MOAB于点N,由已知得出△BPE≌△BFE,进而得出△AEB≌△QEB,利用中位线出AE的长,由勾股定理求出BE,即可得出半径;
(2)由CEFD=4,利用勾股定理得出DF的长,即可求出△BEF的面积.

解:(1)将BCF绕点B逆时针旋转90°到BAP,过点B作BQEF,设O与CD相切于点M,连接OM,延长MO交AB于点N,如图所示:

BPE与BFE中,

∴△BPE≌△BFE(SAS),

∴∠AEB=∠BEQ,PE=EF,

AEB和QEB中,

∴△AEB≌△QEB(AAS),

∴BQ=AB=2,

由PE=EF可知,

CEFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4,

设AE=a,则DE=2﹣a,BE=

O为BE中点,且MN∥AD,

∴ON=AE=

∴OM=2﹣

又BE=2OM,

=4﹣a,解得a=

∴ED=,BE= =

∴⊙O的半径长=BE=

(2)∵CEFD=4,设DF=b,

∴EF=4﹣b﹣=﹣b,

在RtEDF中,(2+b2=(﹣b)2

解得b=

∴EF==

∴SBEF=××2=

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