题目内容
【题目】如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是AD,CD上两点,BE交AF于点G,且DE=CF.
(1)写出BE与AF之间的关系,并证明你的结论;
(2)如图2,若AB=2,点E为AD的中点,连接GD,试证明GD是∠EGF的角平分线,并求出GD的长.
【答案】(1)BE=AF,BE⊥AF,理由见解析;(2)证明见解析,GD=.
【解析】
(1)根据正方形的性质可证△BAE≌△ADF(SAS),得到BE=AF,∠ABE=∠DAF,进而得出∠BGA=90°即可;
(2)先利用勾股定理求出AF,进而利用面积求出DN,判断出AG=DN,在判断出DM=AG,即可得出GD是∠MGN的平分线,进而判断△DGN是等腰直角三角形即可得出结论.
解:(1)BE=AF,BE⊥AF,理由:
四边形ABCD是正方形,
∴BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°,
∵DE=CF,
∴AE=DE,
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF,∠ABE=∠DAF,
∵∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠DAE+∠AEB=90°,
∴∠BGA=90°,
∴BE⊥AF;
(2)如图2,过点D作DN⊥AF于N,DM⊥BE交BE的延长线于M,
在Rt△ADF中,根据勾股定理得,AF=,
∵S△ADF=AD×FD=AD×DN,
∴DN=,
∵△BAE≌△ADF,
∴S△BAE=S△ADF,
∵BE=AF,
∴AG=DN,
又∵∠AGE=∠DME,∠AEG=∠DEM
∴△AEG≌△DEM(AAS),
∴AG=DM,
∴DN=DM,
∵DM⊥BE,DN⊥AF,
∴GD平分∠MGN,
∴∠DGN=∠MGN=45°,
∴△DGN是等腰直角三角形,
∴GD=DN=.
【题目】某校组织九年级学生参加汉字听写大赛,并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析,绘制成如下的统计表:
成绩x/分 | 频数 | 频率 | |
第1段 | x<60 | 2 | 0.04 |
第2段 | 60≤x<70 | 6 | 0.12 |
第3段 | 70≤x<80 | 9 | b |
第4段 | 80≤x<90 | a | 0.36 |
第5段 | 90≤x≤100 | 15 | 0.30 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)a=______,b=______;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)样本中,部分学生成绩的中位数落在第_______段;
(4)已知该年级有400名学生参加这次比赛,若成绩在90分以上(含90分)的为优,估计该年级成绩为优的有多少人?