题目内容

【题目】如图1,在平面直角坐标系中,A(0,1),B(4,1),C为x轴正半轴上一点,且AC平分∠OAB.
(1)求证:∠OAC=∠OCA;
(2)如图2,若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P,即满足∠POC= ∠AOC,∠PCE= ∠ACE,求∠P的大小;
(3)如图3,在(2)中,若射线OP、OC满足∠POC= ∠AOC,∠PCE= ∠ACE,猜想∠OPC的大小,并证明你的结论(用含n的式子表示)

【答案】
(1)解:∵A(0,1),B(4,1),

∴AB∥CO,

∴∠OAB=90°,

∵AC平分∠OAB.

∴∠OAC=45°,

∴∠OCA=90°﹣45°=45°,

∴∠OAC=∠OCA;


(2)解:∵∠POC= ∠AOC,∴∠POC= ×90°=30°,

∵∠PCE= ∠ACE,∴∠PCE= (180°﹣45°)=45°,

∵∠P+∠POC=∠PCE,

∴∠P=∠PCE﹣∠POC=15°


(3)解:∵∠POC= ∠AOC,∴∠POC= ×90°= °,

∵∠PCE= ∠ACE,∴∠PCE= (180°﹣45°)= °,

∵∠P+∠POC=∠PCE,

∴∠P=∠PCE﹣∠POC= °


【解析】(1)根据AB坐标可以求得∠OAB大小,根据角平分线性质可求得∠OAC大小,即可解题;(2)根据题干中给出的∠POC= ∠AOC、∠PCE= ∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小,再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题;(3)解法和(2)相同,根据题干中给出的∠POC= ∠AOC、∠PCE= ∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小,再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的判定与性质的相关知识,掌握由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质,以及对三角形的内角和外角的理解,了解三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

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