Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、A做直线l的垂线，垂足分别为点D、E．

（1）问题发现：

①若∠ABC=30°，如图①，则= ；

②∠ABC=45°，如图②，则= ；

（2）拓展探究：

当0°＜∠ABC＜90°，的值有无变化？请仅就图③的情形给出证明．

（3）问题解决：

若直线CE、AB交于点F，=，CD=4，请直接写出线段BD的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的值无变化，理由详见解析；(3) 2或8．

【解析】

试题分析：（1）①根据直角三角形的性质得到CD=BC，根据全等三角形的性质得到BC=AE，等量代换得到CD=AE，即可得到结论；②如图②，推出△ACB是等腰直角三角形，求得∠CBD=45°，证得B与E重合，根据等腰直角三角形的性质得到EF=AE根据矩形的性质得到EF=CD，与得到结论；

（2）如图③，延长AC与直线L交于G，根据等腰三角形的性质得到BA=BG，证得CD∥AE，根据相似三角形的性质得到；

（3）①当点F在线段AB上时，过C作CG∥l交AE于H，交AB于G，推出△CFG∽△EFB，根据相似三角形的性质得到，设CG=5x，BE=6x，则AB=10x，∵∠根据勾股定理得到AE=8x，由（2）得AE=2CD，根据相似三角形的性质得到，于是得到CH=CG+HG=8，根据平行四边形的性质得到DE=CH=8，求得BD=DE=BE=2，②如图⑤，当点F在线段BA的延长线上时，过点C作CG∥l交AE于点H，交AB于G，同理可得求得结论．

试题解析：（1）①∵CD⊥BD，

∴∠CDB=90°，

∵∠DBC=∠ABC=30°，

∴CD=BC，

在△ABE与△ABC中，

∠ACB=∠AEB=90°，∠BAE=∠ABC=30°，AB=BA，

∴△ABC≌△ABE，

∴BC=AE，

∴CD=AE，

∴=；

②如图②，∵∠ABC=45°∠ACB=90°，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∵∠CBD=45°，

∴∠ABD=90°，

∵AE⊥BC，

∴B与E重合，

∴EF=AE，

∵CD⊥BD，

∴四边形CDEF的矩形，

∴EF=CD，

∴CD=AE，

∴=；

故答案为：①；②；

（2）的值无变化，

理由：如图③，延长AC与直线L交于G，

∴∠ABC=∠CBG，

∵∠ACB=90°，

∴∠AGB=∠BAG，

∴BA=BG，

∵AE⊥l，CD⊥l，

∴CD∥AE，

∴△GCD∽△GAE，

∴；

（3）①如图4，当点F在线段AB上时，过C作CG∥l交AE于H，交AB于G，

∴∠DBC=∠HCB，

∵∠DBC=∠CBF，

∴∠CBF=∠HCB，

∴CG=BG，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAG+∠CBF=∠HCB+∠ACG=90°，

∴∠ACG=∠CAG，

∴CG=AG=BG，

∵CG∥l，

∴△CFG∽△EFB，

∴，

设CG=5x，BE=6x，

则AB=10x，

∵∠AEB=90°，

∴AE=8x，

由（2）得AE=2CD，

∵CD=4，

∴AE=8，

∴x=1，

∴AB=10，BE=6，CG=5，

∵GH∥l，

∴△AGH∽△ABE，

∴，

∴HG=3，

∴CH=CG+HG=8，

∵CG∥l，CD∥AE，

∴四边形CDEH为平行四边形，

∴DE=CH=8，

∴BD=DE=BE=2，

②如图⑤，当点F在线段BA的延长线上时，过点C作CG∥l交AE于点H，交AB于G，

同理可得CG=5，BH=6，HG=3，

∴DE=CH=CG﹣HG=2，

∴BD=DE+BE=8，

综上可得BD=2或8．