题目内容
【题目】如图，直线y=x+2与抛物线y=
+bx+6（a≠0）相交于A（
，
）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
【答案】(1) y=
﹣8x+6；(2) 当n=
时，线段PC最大值为
；(3) （3，5）或（
，
）．
【解析】
试题分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．
试题解析：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（
，
）、B（4，6）在抛物线y=
+bx+6上，
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为y=﹣8x+6；
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，
﹣8n+6），
∴PC=（n+2）﹣（﹣8n+6），
=﹣+9n﹣4，
=
，
∵PC＞0，
∴当n=时，线段PC最大值为；
（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如答图3﹣1，过点A（
，
）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则：
，解得
，
∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3①，
又抛物线的解析式为：y=﹣8x+6②，
联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去），
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴
（3，5）；
iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=﹣8x+6=
，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x=时，y=x+2=．
∴
（，）．
∵点（3，5）、（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
