Question

已知，抛物线y=ax²-2ax与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且抛物线与直线y=-2ax-1的交点恰为抛物线的顶点C．
（1）求a的值；
（2）如果直线y=-x+b（

2

≤b≤

3

）与x轴交于点D，与线段BC交于点E，求△CDE面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，在x轴下方，是否存在点F，使△BDF与△BCD相似？如果存在，请求出点F的坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y=ax²-2ax=ax（x-2），
又∵抛物线y=ax²-2ax与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），
∴A（2，0），B（0，0），顶点C（1，-a），
∵抛物线与直线y=-2ax-1的交点恰为抛物线的顶点C，
∴-2a-1=-a，
解得：a=-1．

（2）如图1，由（1）得直线BC的解析式为y=x，
∵直线y=-x+b（

2

≤b≤

3

）与x轴交于点D，与线段BC交于点E，
∴D（b，0），E（

b

2

，

b

2

），
∴S_△CDE=S_△CBD-S_△BDE=

1

2

×b×1-

1

2

×b×

b

2

=-

1

4

（b-1）²+

1

4

，
∵当b＞1时，s随着b的增大而减小，
∵

2

≤b≤

3

，
∴当b=

2

时，△CDE面积最大，
最大值为：-

1

4

（

2

-1）²+

1

4

=

2 -1

2

．

（3）如图2，△BCD中，BC=BD=

2

，∠CBD=45°，
在x轴下方存在点F，使△BDF与△BCD全等，即△BDF与△BCD相似，
∴F₂（1，-1），
过点F₁作F1M⊥OD于M，
∵DF₁=OD=OC=

2

，∠ODF₁=∠CBD=45°，
∴F₁M=DM=1，
∴F₁（

2

-1，-1），
过F₃N⊥BD于N，过点C作CG⊥BD于G，
∴△CGD∽△F₃ON，
∴CG：F₃N=GD：BG，
∵GD=

2

-1，CG=1，BG=

2

2

，
∴

2 -1

2 2

=

1

F3G

，
∴F₃G=1+

2

2

，
∴F₃（

2

2

，-1-

2

2

）．
∴存在点F₁（

2

-1，-1），F₂（1，-1），F₃（

2

2

，-1-

2

2

），使△BDF与△BCD相似．