题目内容

【题目】ABC中,ABBC,直线l垂直平分AC.

1)如图1,作∠ABC的平分线交直线l于点D,连接ADCD.

①补全图形;

②判断∠BAD和∠BCD的数量关系,并证明.

2)如图2,直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D,连接ADCD.求证:∠BAD=BCD.

【答案】1)①见解析;②∠BAD+∠BCD=180°,证明见解析;(2)见解析.

【解析】

1)①根据题意画图即可补全图形;

②过点DDEAB于点EDFBCBC的延长线于点F,如图4,根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DE=DFDA=DC,再根据HL可证RtADERtCDF,进而可得∠BAD=DCF,进一步即可得出∠BAD和∠BCD的数量关系;

2)过点DDHAB于点HDGCE于点G,如图5,根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DG=DHDA=DC,再根据HL可证RtADHRtCDG,进一步即可得出结论.

解:(1)①补全图形如图3

②∠BAD+BCD=180°.

证明:过点DDEAB于点EDFBCBC的延长线于点F,如图4

BD平分∠ABC,∴DE=DF

∵直线l垂直平分AC,∴DA=DC

RtADERtCDFHL),∴∠BAD=DCF

∵∠DCF+BCD=180°

∴∠BAD+BCD=180°

3)证明:过点DDHAB于点HDGCE于点G,如图5

BD平分∠ABE,∴DH=DG

∵直线l垂直平分AC,∴DA=DC

RtADHRtCDGHL),

∴∠BAD=BCD

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