题目内容
【题目】（问题背景）
如图，在平面直角坐标系
中，点
的坐标是
，点
是
轴上的一个动点.当点在轴上移动时，始终保持
是等腰直角三角形，且
(点、、
按逆时针方向排列)；当点移动到点
时，得到等腰直角三角形
(此时点与点
重合).
（初步探究）
(1)写出点的坐标______.
(2)点在轴上移动过程中，当等腰直角三角形
的顶点在第四象限时，连接
.
求证：
；
（深入探究）
(3)当点在轴上移动时，点也随之运动.经过探究发现，点的横坐标总保持不变，请直接写出点的横坐标：______.
（拓展延伸）
(4)点在轴上移动过程中，当
为等腰三角形时，直接写出此时点的坐标.
备用图
【答案】(1)(1，1)；(2)证明见解析；(3)1；(4)
.
【解析】
根据等腰直角三角形的性质，OA=AB，题干中已知A点坐标，即可求得OB的长度，表示出B点坐标即可.
根据等腰直角三角形的性质得到
，再根据等角的余角相等，得出角
，最后利用三角形全等的判定方法进行判定即可.
根据（2）的结论△ABP也为直角三角形，且AB垂直BP，且AB=OB=1，即可得出P点的横坐标.
先根据题意，确定B点、A点坐标，设出P点和C点坐标，分情况进行讨论，当OP=OB时，当OB=BP时，当OP=BP时，分别利用两点间距离公式求出点P点的坐标，然后分别算出AP的长，最后利用AP=AC计算出A点坐标即可.
解：(1)∵点A的坐标为（0，1）
△OAB是等腰直角三角形，且OA=AB，OA⊥BA
∴B点坐标为
.
(2)证明：在等腰直角三角形
中，
，
在等腰直角三角形
中，
，
在
和
中
(3)
（已证）
∴∠ABP=90°
∴PB垂直AB，P点在过B点且垂直与AB的垂线上，
∵点B的坐标为（1,1）
∴P点的横坐标为1.
(4)由题意和（1）可知
，
设P（1，y），C（x，0），
当OB=OP时，
，
解得:
或
，
则
或
，
解得：
，
所以C点坐标为（
）或（
）
同理当OB=OP时，可得C点坐标为（-2,0）
当BP=OP时，可得C点坐标为（-1,0）
故答案为：
